Come si risolve la seguente equazione differenziale?

[alex482]

Buongiorno a tutti, vorrei sapere se qualcuno sa risolvere la seguente equazione differenziale (per trovare il guadagno con saturazione di un SOA (Semiconductor Optical Amplifier)):

$ \frac{dP(z)}{dz}= \frac{g_0}{1+\frac{P(z)}{P_s}}P(z) $

con $ g_0 $ e $ P_s $ costanti.

Io ho una soluzione assumendo: $ P(0)=P_{\i\n} $, $ P(L)=P_{\o\u\t} $, $G=\frac{P_{out}}{P_{\i\n}}$ e $ G_0=e^{g_0L} $

data da:

$ G=G_0 exp[-\frac{G-1}{G}\frac{P_{\o\u\t}}{P_s}] $

senza però i passaggi e non capisco proprio come ci siano arrivati...

In particolare mi piacerebbe sapere come si trova la $ P(z) $ in forma chiusa prima che vengano imposte le condizioni al contorno.

Qualcuno può aiutarmi o anche solo darmi qualche indicazione su come si fa?

Dovrebbe essere una conoscenza di analisi elementare ma io nei miei corsi di analisi non ho mai visto nulla di simile... Non so nemmeo se esiste un nome specifico per un'equazione di questo tipo, esiste?

[drughe]

semplificando un po la notazione direi di chiamare $k=P_s$, $h=g_0$, che penso siano entrambi diversi da zero.

quindi noi dobbiamo risolvere $\partial_z P(z)= \frac{khP(z)}{k+P(z)}$ giusto?

scartata la soluzione nulla $P(z)=0$ per ogni z, puoi risolverla come una eq diff a variabili separabili penso. E intuitivamente la soluzione dovrebbe essere un esponenziale come hai scritto tu dato che integrando compare un logaritmo penso (non ne sono sicuro non ho fatto i calcoli).

e a questo punto vai a sostituire le diverse condizioni, io però non ho capito come hai scritto la soluzione che hai già...

[alex482]

Sei un geniooooo separare le variabili! Ci ho messo ore e mi son perso una notte di sonno ma forse ho trovato:

$ \frac{dP(z)}{dz} = \frac{g_0}{1+\frac{P(z)}{P_s}}P(z) $

$ dP = \frac{g_0}{1+\frac{P(z)}{P_s}}P(z)dz $

$ \frac{1+\frac{P(z)}{P_s}}{P(z)}dP= g_0dz $

$ \int_{0}^{L}(\frac{1}{P(z)}+\frac{1}{P_s})dP = \int_{0}^{L}g_0dz $

$ \int_{0}^{L}\frac{dP}{P(z)}+\int_{0}^{L}\frac{dP}{P_s} = \int_{0}^{L}g_0dz $

$ \ln P(L) - \ln P(0) + \frac{1}{P_s}[P(L)-P(0)] = g_0L $

$ \ln\frac{P(L)}{P(0)} + \frac{P(L)-P(0)}{P_s} = g_0L $

Ora pongo: $G=\frac{P(L)}{P(0)}=\frac{P_{out}}{P_{\i\n}}$ e $ G_0=e^{g_0L} $ da cui $ g_0L=\lnG_0 $

Quindi diventa:

$ \lnG + \frac{P(L)-P(0)}{P_s} = \lnG_0 $

$ \frac{P(L)-P(0)}{P_s} = \lnG_0 - \lnG $

$ \frac{P(L)-P(0)}{P_s} = \ln\frac{G_0}{G} $

Faccio l'esponenziale dei 2 membri:

$ e^{\frac{P(L)-P(0)}{P_s}} = \frac{G_0}{G} $

$ G = G_0e^{-\frac{P(L)-P(0)}{P_s}} $

Pongo $ P(0)=P_{\i\n} $ e $ P(L)=P_{\o\u\t} $

$ G = G_0e^{-\frac{P_{\o\u\t}-P_{\i\n}}{P_s}} $

Raccolgo $ P_{\i\n} $ nel esponente:

$ G = G_0e^{{-\frac{\frac{P_{\o\u\t}}{P_{\i\n}}-1}{P_s}}P_{\i\n}} $

Uso $G=\frac{P_{out}}{P_{\i\n}}$

$ G = G_0e^{{-\frac{G-1}{P_s}}P_{\i\n}} $

Cioè:

$ G=G_0 exp[-(G-1)\frac{P_{\i\n}}{P_s}] $

E usando di nuovo $G=\frac{P_{out}}{P_{\i\n}}$

si ottiene:

$ G=G_0 exp[-\frac{G-1}{G}\frac{P_{\o\u\t}}{P_s}] $

Grazie non ci avrei mai pensato se non mi davi l'imbeccata!

Purtroppo sto leggendo un libro di optoelettronica in inglese e tutti questi passaggi loro li danno per scontati... magari sono banali ma se uno non ha mai fatto esercizi così impazzisce a seguire il testo!

Se qualcuno conoscesse un metodo più rapido, magari anche con Laplace o Fourier e sarebbe così gentile da postare sarebbe molto istruttivo per me! Grazie.