Come si riconosce una funzione?

[Baldur1]

Ho questo dubbio che mi frulla nella testa, ogni volta che ho da fare una derivazione.

$ln f(x)$, si deriva in modo diverso da $ln x$, giusto? Ma come fare per riconoscere se l'argomento del logaritmo naturale (esempio) è una funzione tale da dover utilizzare la prima regola di derivazione, o non è una funzione, e quindi bisogna utilizzare la seconda, più semplice, regola?

In altre parole, più in generale, come si distingue $f(x)$, quindi una funzione, da un qualcosa che invece NON è una funzione?
Per dire, x da sola, non è una funzione, giusto? E quando è che lo diventa?

Per cui, esempio:

la derivata di $ln (2 + x^2)$, è uguale a $(2x) / (2+x^2)$ (e quindi si presenta nella forma $ln f(x)$)
o è uguale a $1/(2+x^2)$ ? (e quindi la forma in cui si presenta è $ln x$)

Grazie

[Noisemaker]

"Baldur":
Per dire, x da sola, non è una funzione, giusto? E quando è che lo diventa?
e

come no???!!! $y=x$ cos'è un fagiolo?!!

le funzioni che tu chiami funzioni sono funzioni composte e dunque hanno la regola di DERIVAZIONE DELLA FUNZIONE COMPOSTA; ma anche $\ln x$ la puoi pensare come funzione composta da $\ln$ e da $x$ se proprio vuoi ...

[Zero87]

"Baldur":Per dire, x da sola, non è una funzione, giusto? E quando è che lo diventa?

Grazie

La domanda ha un suo interesse, solo che è posta male e aspettati qualche commento del tipo "$f(x)=x$ è una funzione" o cose simili. Non è un rimprovero (ci mancherebbe), è solo che è meglio fare sempre caso alle proprie parole perché poi, quando servono (in esami), dopo si parla come si è abituati e se un prof ti sente dire "$x$ non è una funzione" sono dolori !

Comunque, immagino che tu intenda questo

"Per derivare $ln(f(x))$ si usa sempre la regola di funzione composta; quando è che, invece, basta qualcosa di più semplice come ad esempio $(ln(x))'=1/x$ senza passare per la regola di derivazione composta?"

La risposta è "mai" perché il caso $f(x)=x$ è proprio un caso particolare della regola di derivazione della funzione composta. Se vai a derivare $ln(x)$ con la regola di funzione composta, cioè
$(ln(f(x)))'= (f'(x))/f(x)$
ottieni $(ln(x))'=1/x$ uguale perché $(x)'=1$.

Per il resto, "qualsiasi" argomento differente da $x$ subisce la regola di derivazione della funzione composta. Per venire incontro alla tua domanda posso dirti solo che
$(ln(x+a))'=\frac{1}{x+a}$ con $a$ una costante reale qualsiasi,
quindi potresti pensare che "non si passa" per la regola di derivazione di funzione composta. In realtà, così come nel caso semplice, ci si passa comunque (è che $D(x+a)=1$).

Per il resto, qualsiasi funzione nell'argomento va derivata quando si deriva il logaritmo: sia che sia un $2x$ sia che sia un $cos(e^\sqrt(x^2+1))$...

[Baldur1]

Quindi a quanto hai detto, anche nei casi semplici, conviene applicare sempre le regole di derivazioni di funzioni composte.
Però hai risposto alla mia domanda a metà, nel senso: quando è che si parla di funzione, e quando di altro?

2 + x, 2x e x, sono tutte e tre funzioni? E quando non lo sono?

Esempio: $2xe^(x^2) + 2$

Quante sono sono le funzioni? E Quali sono?

Grazie

[Noisemaker]

"Baldur":Quindi a quanto hai detto, anche nei casi semplici, conviene applicare sempre le regole di derivazioni di funzioni composte.
Però hai risposto alla mia domanda a metà, nel senso: quando è che si parla di funzione, e quando di altro?

2 + x, 2x e x, sono tutte e tre funzioni? E quando non lo sono?

Esempio: $2xe^(x^2) + 2$

Quante sono sono le funzioni? E Quali sono?

Grazie

la definizione di funzione è

Dati due insiemi non vuoti $A$ e $B$ si chiama funzione di $A$ in $B$ una qualsiasi relazione che
associa ad ogni elemento $x$ di $A$ uno ed un solo elemento $y$ di $B$

\\begin{align*}y=2xe^{x^2} + 2,\qquad x^2+y^2=4\end{align*}

quale tra queste è una funzione?

[Zero87]

"Baldur":Quindi a quanto hai detto, anche nei casi semplici, conviene applicare sempre le regole di derivazioni di funzioni composte.

Guarda, non ho detto proprio questo. Però se applichi la regola di derivazione di funzione composta è sicuro che non sbagli.

In futuro molte derivate ti verranno ad occhio, per esempio $(ln(2x))'=1/x$ che però - sottobanco - si spiega con $(2x)' \cdot 1/(2x) = 2/(2x) = 1/x$ ($^1$).

Comunque tu confondi il significato di "funzione" con quello di "funzione composta" secondo me. Ora io non sono molto ferrato nell'argomento, però provo a risponderti cercando di non sparare cavolate .

$2xe^(x^2) + 2$ è una funzione, però puoi dire che è una funzione composta (non la scompongo perché ho paura di fare un sacco di casino! , non sono per questi grandi formalismi!).
$2+x$ è anch'essa una funzione e puoi vedere che è composta anch'essa: $f(x)=2+g(x)$ dove $g(x)=x$.
$2x$ è il doppio della funzione $x$ ed è anch'essa composta in questo senso.

Salvo interventi migliori da altri utenti, ti consiglio in generale di rivedere il concetto di funzione.

Io, un po', ci provo.
"Una funzione è una legge matematica che associa ad un elemento di un insieme (detto dominio) uno e un solo elemento di un altro insieme (detto codominio o immagine o non so che altro)".
Il punto è che anche $f(x)=0$ è una funzione: ad ogni $x$ del dominio (che sia $\RR$ o un intervallino o altro) si associa "solo" lo zero. Il fatto che a tutti i valori corrisponda lo zero non vuol dire che non è una funzione: non sarebbe funzione se esiste un $x$ per cui $f(x)$ sia uguale a due o più valori differenti.

_____
($^1$) Si può spiegare, in questo caso, anche con un $ln(2x)=ln(2)+ln(x)$ e quando derivi la derivata di $ln(2)$ è nulla.