Come si può studiare questa "funzione"?
Salve a tutti, sono un nuovo iscritto, ed è la prima volta che scrivo in questo forum. Una curiosità: volevo sapere come è classificabile questa "funzione" : x^y=y^x ?
So che nn è una funzione ma non saprei dire cos'è. Credo comunque che sia esponenziale. Ma come si potrebbe studiare?? (come si trova il dominio e eventuali limiti, ecc...) E inoltre come si potrebbe esplicitare la y?
Grazie in anticipo.
So che nn è una funzione ma non saprei dire cos'è. Credo comunque che sia esponenziale. Ma come si potrebbe studiare?? (come si trova il dominio e eventuali limiti, ecc...) E inoltre come si potrebbe esplicitare la y?
Grazie in anticipo.
Risposte
da ignorante che sono ti rispondo,
io la classificherei come una curva generica, però la y non riesco a esplicitarla
al massimo la puoi riscrivere come $y/logy=x/logx$ però non sono riuscito a fare più di così
sorry
io la classificherei come una curva generica, però la y non riesco a esplicitarla
al massimo la puoi riscrivere come $y/logy=x/logx$ però non sono riuscito a fare più di così
sorry
Io dopo qualche passaggio ho trovato che $y=x^(y/x)$ ma nn riesco ad andare oltre. Questo genere di curve come si studia di solito?
A parte le considerazioni di dominio, perchè $y=x$ non va?
In che senso $y=x$ ? Vedendo il grafico con Derive esso è una sorta di intersezione tra un ramo di iperbole equilatera e la prima bisettrice ed esiste solo nel 1° quadrante. Come si può interpretare questo?
Per il primo quadrante, pensa al motivo per cui $x^x$ non è definita per $x<0$. Per la $y=x$, è una soluzione che si trova ad occhio, per la simmetria dell'equazione. Non ho ancora provato una risoluzione strutturata. Se nel frattempo non posta qualcun altro, appena ho un po' di tempo ci provo.
Adesso sto impazzendo, nn capisco perché $x^x$ sia reale per $x<0$, o meglio credo non sia reale solo per le x contemporaneamente frazionarie e negative, o no ? Cioè ad esempio $-2^(-2)=1/4$ oppure $-3^(-3)=-1/27$ però $(-1/4)^(-1/4)=1-i$ Come si spiega tutto questo? Per quale motivo $x^x$ non è definita per le $x<0$, come dici tu?
E poi esiste un modo per esplicitare la y in $x^y=y^x$ e per trovare il dominio?
E poi esiste un modo per esplicitare la y in $x^y=y^x$ e per trovare il dominio?
"Volvox":
$(-1/4)^(-1/4)=1-i$
Dissento:
perché 1-i e non 1+i ? Se fai i conti trovi $(1-i)^4 = (1+i)^4=-4$.
In realtà anche -1-i e -1+i andrebbero bene.
Il problema, secondo me, è che la scrittura $(-1/4)^(-1/4)$ non ha significato.
Non so dirti se quello che ho scritto sia giusto o no, i calcoli li ho fatti fare a computer 
. Ma nn è questo il problema
Perchè dici che non ha senso? Se nn erro $(-1/4)^(-1/4)$ equivale $1/((-1/4)^(1/4))$
In realtà non so come si faccia il simbolo di radice quarta.
. Ma nn è questo il problema Perchè dici che non ha senso? Se nn erro $(-1/4)^(-1/4)$ equivale $1/((-1/4)^(1/4))$
In realtà non so come si faccia il simbolo di radice quarta.
Già, era solo per rompere le scatole scusa 
Comunque se posso dare il mio contributo, mi pare di ricordare che negli interi le uniche soluzioni siano
x=2, y=4
x=4, y=2
Comunque se posso dare il mio contributo, mi pare di ricordare che negli interi le uniche soluzioni siano
x=2, y=4
x=4, y=2
"Volvox":
Perchè dici che non ha senso?
Perché non conosco convenzioni che permettano di dargli un significato (e non credo ce ne siano).
Infatti l'espressione $(-1/4)^(-1/4)$ puo' assumere ben quattro valori differenti:
1+i
1-i
-1-i
-1+i
Sono le quattro soluzioni di $x^4=-4$.
Se $x \ne y$, altrimenti ogni coppia di valori $x, y \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ t.c. $x=y$ va bene.
Esatto, e ovviamente tutte e quattro le soluzioni sono complesse, ma perché la curva di equazione $x^y=y^x$ ,come posso vedere dal suo grafico, è definita solo nel 1° quadrante? E poi perché $f(x)=x^x$ è reale solo per le $x>=0$ come diceva Cmax?
Mi piacerebbe capire in che contesto hai incontrato questa equazione, spero non in un compito.
Comunque, spremendo un po' la memoria, aveva qualcosa a che fare con una funzione del tipo Lambert (ti consiglio di fare una ricerca con Google), e si poteva cercare una soluzione parametrica con un artifizio (che avevo letto da qualche parte, altrimenti non credo sarei stato capace di trovarlo durante un compito, per fortuna non mi è mai capitato).
Poichè si ricerca una soluzione dove $x \ne y$, poniamo $y/x=t$, e quindi $x=y/t$. Poichè si è già visto che (mi pare lo abbia detto fu^2) che $ln(y)/y=ln(x)/x$, allora $ln(y/t)/(y/t)=ln(y)/y$ ovvero $t(ln y -ln t)=ln y$, da cui, con un po' di algebra, $y=t^\frac{t}{t-1}$, e quindi $x=t^\frac{1}{t-1}$. Questa soluzione parametrica dovrebbe corrispondere al ramo iperbole-like che Derive ti ha disegnato.
L'altra soluzione è quella trovata ad occhio.
PS. Non dicevo, o non intendevo dire (credo di essermi espresso male), che l'espressione $x^x$ è reale solo per $x>=0$, ma che quando si studia come funzione, per evitare di trattare domini complicati, come hai avuto occasione di verificare, si conviene di considerarla definita per $x>=0$. Se ne è parlato in un thread recente.
Comunque, spremendo un po' la memoria, aveva qualcosa a che fare con una funzione del tipo Lambert (ti consiglio di fare una ricerca con Google), e si poteva cercare una soluzione parametrica con un artifizio (che avevo letto da qualche parte, altrimenti non credo sarei stato capace di trovarlo durante un compito, per fortuna non mi è mai capitato).
Poichè si ricerca una soluzione dove $x \ne y$, poniamo $y/x=t$, e quindi $x=y/t$. Poichè si è già visto che (mi pare lo abbia detto fu^2) che $ln(y)/y=ln(x)/x$, allora $ln(y/t)/(y/t)=ln(y)/y$ ovvero $t(ln y -ln t)=ln y$, da cui, con un po' di algebra, $y=t^\frac{t}{t-1}$, e quindi $x=t^\frac{1}{t-1}$. Questa soluzione parametrica dovrebbe corrispondere al ramo iperbole-like che Derive ti ha disegnato.
L'altra soluzione è quella trovata ad occhio.
PS. Non dicevo, o non intendevo dire (credo di essermi espresso male), che l'espressione $x^x$ è reale solo per $x>=0$, ma che quando si studia come funzione, per evitare di trattare domini complicati, come hai avuto occasione di verificare, si conviene di considerarla definita per $x>=0$. Se ne è parlato in un thread recente.
Mi piacerebbe capire in che contesto hai incontrato questa equazione, spero non in un compito.
Non ci crederai mai, ma ho pensato a questa equazione da solo, nel tempo libero, giocherellando con Derive,
semplicemente chiedendomi che grafico sarebbe uscito fuori con una equazione così sublimemente simmetrica! Adesso che a scuola stiamo studiando i limiti, mi chiedevo come si sarebbe potuta studiarla.
Comunque grazie mille a tutti!
Ragazzi, calma e sangue freddo!... la 'soluzione' è quanto di più banale si possa immaginare...
Data una qualunque $f(x,y)$ perchè sia vera l'identità...
$f(x,y)=f(y,x)$ (1)
... è sufficiente che sia
$y=x$ (2)
La (2) è pertanto la forma 'esplicita' della funzione assegnata in forma 'implicita' dalla relazione $x^y=y^x$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Data una qualunque $f(x,y)$ perchè sia vera l'identità...
$f(x,y)=f(y,x)$ (1)
... è sufficiente che sia
$y=x$ (2)
La (2) è pertanto la forma 'esplicita' della funzione assegnata in forma 'implicita' dalla relazione $x^y=y^x$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
È sufficiente, ma non necessario... Come ha fatto notare Martino, $x = 2$, $y=4$, soddisfano la relazione $x^y = y^x$, ma non soddisfano $y=x$... O forse non ho capito quello che intendevi...
La relazione...
$x^y=y^x$ (1)
... descrive una funzione $y=y(x)$ assegnata in forma implicita. Ciò significa che essa deve valere per tutti i valori di $x$, non solo per alcuni [nell'esempio da te fornito $x=2$...]. La funzione...
$y=x$ (2)
... soddisfa la (1) e quindi è una 'soluzione' valida per tutte le $x$. Se la (2) è unica o no lo dovrebbe dire il teorema di Dini... che però in me suscita ricordi 'terribili' e pertanto lascio a voi...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$x^y=y^x$ (1)
... descrive una funzione $y=y(x)$ assegnata in forma implicita. Ciò significa che essa deve valere per tutti i valori di $x$, non solo per alcuni [nell'esempio da te fornito $x=2$...]. La funzione...
$y=x$ (2)
... soddisfa la (1) e quindi è una 'soluzione' valida per tutte le $x$. Se la (2) è unica o no lo dovrebbe dire il teorema di Dini... che però in me suscita ricordi 'terribili' e pertanto lascio a voi...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Io non sono mica tanto d'accordo che la relazione $x^y = y^x$ descriva una funzione...
"lupo grigio":
La funzione...
$y=x$ (2)
... soddisfa la (1) e quindi è una 'soluzione' valida per tutte le $x$.
Concordo sul fatto che la funzione y=x soddisfa la relazione $x^y=y^x$, ma la relazione $x^y=y^x$ non descrive una funzione nel senso che sappiamo (ovvero "ad ogni valore di x è associato un solo valore di y..."). Infatti se x=2 hai almeno due valori di y che sono buoni: y=2 e y=4.
Per come la vedo io, non è che dobbiamo trovare una funzione che sia soluzione di $x^y=y^x$; casomai dobbiamo trovare tutti i punti che soddisfano tale relazione.
Un caso più semplice è questo: se abbiamo il "luogo" $x^2=y^2$ possiamo dire che la funzione $y=x$ è una "soluzione"? A mio parere no. Certo, sostituendo y=x viene una cosa vera, ma non si stanno cercando le soluzioni sottoforma di funzione, le si stanno cercando sottoforma di punti - cosicché per esempio una soluzione di $x^2=y^2$ è (3,3) - il problema è trovarle tutte.
Ciao ciao.
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