Come si può studiare questa "funzione"?
Salve a tutti, sono un nuovo iscritto, ed è la prima volta che scrivo in questo forum. Una curiosità: volevo sapere come è classificabile questa "funzione" : x^y=y^x ?
So che nn è una funzione ma non saprei dire cos'è. Credo comunque che sia esponenziale. Ma come si potrebbe studiare?? (come si trova il dominio e eventuali limiti, ecc...) E inoltre come si potrebbe esplicitare la y?
Grazie in anticipo.
So che nn è una funzione ma non saprei dire cos'è. Credo comunque che sia esponenziale. Ma come si potrebbe studiare?? (come si trova il dominio e eventuali limiti, ecc...) E inoltre come si potrebbe esplicitare la y?
Grazie in anticipo.
Risposte
"Tipper":
Io non sono mica tanto d'accordo che la relazione $x^y = y^x$ descriva una funzione...
Concordo.
Ragazzi
si vede che proprio mi ‘volete male’ e mi costringete a tirar fuori il teorema ‘stramaledetto’
…
Teorema di Dini : Sia $F(x,y)$ una funzione continua insieme con le sue derivate parziali su un insieme aperto $D$ di $RR^2$ e sia $(x_0,y_0)$ un punto interno a $D$. Se ipotizziamo che sia…
a) $F(x_0,y_0)=0$
b) $F’_y(x_0,y_0) ne 0$
…allora esiste un intervallo $(x’,x’’)$ con $x’
Se inoltre nell’intervallo $(x’,x’’)$ esiste finita anche la derivata parziale $F’_x (x,y)$ allora la funzione $y(x)$ risulta derivabile in tutto l’intervallo ed è…
$y’(x)= - (F’_x(x,y))/(F’_y(x,y))$
Una cosa è certa… se all’esame di Analisi II mi fosse toccato all’orale questo ‘teorema’ ora non sarei qui tra voi
…
A parte i ‘ricordi’ veniamo al problema proposto. Nel nostro caso è…
$F(x,y)= x^y-y^x=0$ (1)
Senza tanti preamboli andiamo a cacolarci le derivate parziali…
$F’_x (x,y)= y/x*x^y-ln y*y^x$
$F’_y (x,y)= ln x*x^y-x/y*y^x$ (2)
Intanto per prima cosa si vede subito che per evitare ‘spiacevoli guai’ deve essere strettamente $x>0$ e $y>0$. Ora vediamo ‘per tentativi’ che cosa accade scegliendo alcuni punti sul primo quadrante. Cominciamo per esempio con $(x_0,y_0)=(2,2)$. Avremo…
$F(x_0,y_0)=4-4=0$ -> ok !…
$F’_y (x_0,y_0)= 4*(ln 2-1) ne 0$ -> ok !…
$F’_x (x_0,y_0)= 4*(1-ln 2)$ -> ok !…
Pertanto esiste un intorno di $(2,2)$ in cui è definita una $y(x)$ che è una delle funzioni implicite definite dalla (1). Si trova facilmente che è $y’(2)=1$ … il che non sorprende poiché sappiamo già che è $y(x)=x$…
Vediamo ora che succede nell’altro punto che si è trovato, ovvero poniamo $(x_0,y_0)= (2,4)$. Avremo…
$F(x_0,y_0)=16-16=0$ -> ok !…
$F’_y (x_0,y_0)= 16*(ln 2-1/2) ne 0$ -> ok !…
$F’_x (x_0,y_0)= 16*(2-ln 4)$ -> ok !…
Esiste quindi in $(2,4)$ un'altra funzione implicita $y(x)$ definita dalla (1). In $(2,4)$ è $y'(x)= (ln 4-2)/(ln 2-1/2)$…
Uhm!… il problemino è quindi un pochino più ‘complicato’ di come [un pochino frettolosamente…] ho supposto io… merita un attento studio!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
si vede che proprio mi ‘volete male’ e mi costringete a tirar fuori il teorema ‘stramaledetto’
… Teorema di Dini : Sia $F(x,y)$ una funzione continua insieme con le sue derivate parziali su un insieme aperto $D$ di $RR^2$ e sia $(x_0,y_0)$ un punto interno a $D$. Se ipotizziamo che sia…
a) $F(x_0,y_0)=0$
b) $F’_y(x_0,y_0) ne 0$
…allora esiste un intervallo $(x’,x’’)$ con $x’
Se inoltre nell’intervallo $(x’,x’’)$ esiste finita anche la derivata parziale $F’_x (x,y)$ allora la funzione $y(x)$ risulta derivabile in tutto l’intervallo ed è…
$y’(x)= - (F’_x(x,y))/(F’_y(x,y))$
Una cosa è certa… se all’esame di Analisi II mi fosse toccato all’orale questo ‘teorema’ ora non sarei qui tra voi
… A parte i ‘ricordi’ veniamo al problema proposto. Nel nostro caso è…
$F(x,y)= x^y-y^x=0$ (1)
Senza tanti preamboli andiamo a cacolarci le derivate parziali…
$F’_x (x,y)= y/x*x^y-ln y*y^x$
$F’_y (x,y)= ln x*x^y-x/y*y^x$ (2)
Intanto per prima cosa si vede subito che per evitare ‘spiacevoli guai’ deve essere strettamente $x>0$ e $y>0$. Ora vediamo ‘per tentativi’ che cosa accade scegliendo alcuni punti sul primo quadrante. Cominciamo per esempio con $(x_0,y_0)=(2,2)$. Avremo…
$F(x_0,y_0)=4-4=0$ -> ok !…
$F’_y (x_0,y_0)= 4*(ln 2-1) ne 0$ -> ok !…
$F’_x (x_0,y_0)= 4*(1-ln 2)$ -> ok !…
Pertanto esiste un intorno di $(2,2)$ in cui è definita una $y(x)$ che è una delle funzioni implicite definite dalla (1). Si trova facilmente che è $y’(2)=1$ … il che non sorprende poiché sappiamo già che è $y(x)=x$…
Vediamo ora che succede nell’altro punto che si è trovato, ovvero poniamo $(x_0,y_0)= (2,4)$. Avremo…
$F(x_0,y_0)=16-16=0$ -> ok !…
$F’_y (x_0,y_0)= 16*(ln 2-1/2) ne 0$ -> ok !…
$F’_x (x_0,y_0)= 16*(2-ln 4)$ -> ok !…
Esiste quindi in $(2,4)$ un'altra funzione implicita $y(x)$ definita dalla (1). In $(2,4)$ è $y'(x)= (ln 4-2)/(ln 2-1/2)$…
Uhm!… il problemino è quindi un pochino più ‘complicato’ di come [un pochino frettolosamente…] ho supposto io… merita un attento studio!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
I punti $(4,2)$ e $(2,4)$ appartengono alla funzione, trovata in seguito al problema proposto da Volvox, descritta in forma parametrica da
$x=t^\frac{1}{t-1}$
$y=t^\frac{t}{t-1}$
$x=t^\frac{1}{t-1}$
$y=t^\frac{t}{t-1}$
Tenendo in conto le identità…
$x^y= e^(x*ln y)$
$y^x=e^(y*ln x)$ (1)
… il problema si riduce a all’equazione…
$F(x,y)= y*ln x-x*ln y=0$ (2)
Per il ‘teorema maledetto’ [sempre Dini per intenderci…] la soluzione della (2) equivale dunque alla soluzione dell’equazione differenziale…
$y’= (y^2-x*y*ln y)/(x^2-x*y*ln x)$ (3)
… la quale non è che sia precisamente uno ‘zuccherino’
…
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
$x^y= e^(x*ln y)$
$y^x=e^(y*ln x)$ (1)
… il problema si riduce a all’equazione…
$F(x,y)= y*ln x-x*ln y=0$ (2)
Per il ‘teorema maledetto’ [sempre Dini per intenderci…] la soluzione della (2) equivale dunque alla soluzione dell’equazione differenziale…
$y’= (y^2-x*y*ln y)/(x^2-x*y*ln x)$ (3)
… la quale non è che sia precisamente uno ‘zuccherino’
… cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non ho seguito bene tutti i ragionamenti sul teorema del Dini, certo è che le soluzioni di $x=y$ sono solo un sottoinsieme proprio delle soluzioni di $x^y=y^x$.
Si vede bene sia dal grafico (anche se sappiamo che delle macchine non c'è da fidarsi al 100%, ma il grafico mi pare piuttosto esplicito) sia dall'esempio $2^4=4^2$.
Si vede bene sia dal grafico (anche se sappiamo che delle macchine non c'è da fidarsi al 100%, ma il grafico mi pare piuttosto esplicito) sia dall'esempio $2^4=4^2$.
Interessante!... occorrerebbe chiarire però che cosa siano le due curve rappresentate... una è la funzione $y=x$... e l'altra?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf mai lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf mai lose his teeth, but never his nature
Non mi sarei mai aspetatto che una mia semplice, e direi superficiale, curiosità avrebbe sollevato così tante discussioni (anche molto complesse). Comunque ora che ho capito che quella equazione è una $f(x,y)$ volevo sapere da lupo grigio perché si studia solo nel primo quadrante?
E inoltre, Desko, quale programma usi per fare i grafici (come quello sopra)?
E inoltre, Desko, quale programma usi per fare i grafici (come quello sopra)?
Il motivo è assai semplice...
L'espressione...
$x^y=e^(y*ln x)$ (1)
... è del tutto 'tranquilla' e non dà problemi quando è $x>0$. Non è che per $x<=0$ la funzione non può essere trattata [anzi!...]... il fatto è che su questo sito non piace troppo che certi 'dogmi' siano messi in discussione
...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
L'espressione...
$x^y=e^(y*ln x)$ (1)
... è del tutto 'tranquilla' e non dà problemi quando è $x>0$. Non è che per $x<=0$ la funzione non può essere trattata [anzi!...]... il fatto è che su questo sito non piace troppo che certi 'dogmi' siano messi in discussione
...cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Interessante!... occorrerebbe chiarire però che cosa siano le due curve rappresentate... una è la funzione $y=x$... e l'altra?...
Sto facendo alcune prove: prima ho plottato $z=x^y-x^y$, ma il grafico ottenuto non aiuta moltissimo a capire la situazione, allora son tornato su due dimensioni con $x^y-y^x=k$ facendo variare k (appena riesco vi mando un bel grafico).
Sto trovando cose piuttosto curiose, innanzitutto sembra che per k=1 si abbia una curva particolare di soglia fra due famiglie distinte; poi andando all'infinito le varie curve si confondono fra di loro e sembrano tendere ad una logaritmica (come forse si può dedurre anche da equazioni già postate).
"Volvox":
Non mi sarei mai aspetatto che una mia semplice, e direi superficiale, curiosità avrebbe sollevato così tante discussioni (anche molto complesse).
È un problema che io (e forse molti altri) non mi ero mai posto e mi sta prendendo molto: grazie ille.
"Volvox":
E inoltre, Desko, quale programma usi per fare i grafici (come quello sopra)?
Si tratta di Grapher: di fatto è la calcolatrice grafica inclusa in MacOS X dalla versione 10.4. È un autentico capolavoro di software, il rapporto fra semplicità d'uso e risultati è strabiliante.
Come puoi immaginare se non hai un Apple puoi scordarti di usarlo, ma sono convinto che esistano programmi circa simili anche per Windows e Linux (ma non ne conosco).
"lupo grigio":
Il motivo è assai semplice...
L'espressione...
$x^y=e^(y*ln x)$ (1)
... è del tutto 'tranquilla' e non dà problemi quando è $x>0$. Non è che per $x<=0$ la funzione non può essere trattata [anzi!...]... il fatto è che su questo sito non piace troppo che certi 'dogmi' siano messi in discussione
Credo che qui nessuno metta in dubbio il dominio della funzione logaritmica presente nell'espressione... (sempre che si parli di numeri reali, naturalmente).
Il motivo è assai semplice...
L'espressione...
$x^y=e^(y*lnx)$ (1)
... è del tutto 'tranquilla' e non dà problemi quando è . Non è che per la funzione non può essere trattata [anzi!...]... il fatto è che su questo sito non piace troppo che certi 'dogmi' siano messi in discussione ...
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Credo che qui nessuno metta in dubbio il dominio della funzione logaritmica presente nell'espressione... (sempre che si parli di numeri reali, naturalmente).
No, io intendevo la famosa $x^y=y^x$ non capisco perché si debba studiare solo nel primo quadrante. Mi sembra ovvio che la 1, come dice desko non ammetta quanto meno le $x<0$ per l'esistenza del logaritmo...
"Volvox":
No, io intendevo la famosa $x^y=y^x$ non capisco perché si debba studiare solo nel primo quadrante. Mi sembra ovvio che la 1, come dice desko non ammetta quanto meno le $x<0$ per l'esistenza del logaritmo...
Quindi, appurato che dev'essere $x>0$ il tuo dubbio è perché non si deve studiare quel che succede nel 4° quadrante? cioè per $x>0$ e $y<0$?
Il motivo è piuttosto semplice: questa è una funzione dispari, ovvero simmetrica rispetto la retta $x=y$, ovvero se si scambiano fra loro $x$ e $y$ si ottiene la stessa identica curva e quindi le condizioni che valgono per $x$ devono valere anche per $y$.
Se invece non era questo il tuo dubbio allora non ho capito.
Come avevo promesso, anche se un po' in ritrdo, ecco qua alcuni grafici dell'equazione $X^y-y^x=k$ con k che va da -5 a +5 con passi di 0,5:
carino!
La cosa interessante da capire è nella parte bassa, lungo l'asse X: per k?1 sembra che la curva sia limitata, nel senso che finisce contro l'asse delle ascisse, mentre per k>1 l'asse X diventa un asintoto. Per lo meno questo è quello che sembra.
"desko":
La cosa interessante da capire è nella parte bassa, lungo l'asse X: per k?1 sembra che la curva sia limitata, nel senso che finisce contro l'asse delle ascisse, mentre per k>1 l'asse X diventa un asintoto. Per lo meno questo è quello che sembra.
Bisognerebbe chiederlo ad un topologo, vero? Forse per uno studioso del genere la cosa sarebbe elementare...
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