Come si maggiorano le serie???
Ciao ragazzi!
So che quello che sto per chiedervi potrà sembrarvi banale, ma io proprio non ci arrivo.... Ho guardato un po' dei vecchi topic sulle serie, ma non mi hanno aiutato un granchè a capire il mio problema:
Quando mi trovo davanti una serie, e voglio studiarne il carattere con il criterio del confronto, come faccio a decidere con quale altra serie maggiorarla? Come lo stabilisco?
Esempi:
$\sum_{n=0}^\infty\frac{n^3+5}{n^5+2}$ per n che tende a infinito si comporta come $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2}$ quindi converge, e qui ok
$\sum_{n=0}^\infty\sen(frac{1}{n^2})$ con chi confronto ????
$\sum_{n=0}^\infty\cos(frac{1}{n^2})$ con chi confronto ????
$\sum_{n=0}^\infty\ln(1+frac{1}{n})$ con chi confronto ????
$\sum_{n=0}^\infty\tg(frac{n}{n^2+1})$ con chi confronto ????
$\sum_{n=0}^\infty\arctg(frac{1}{n})$ con chi confronto ????
Grazie mille a tutti
So che quello che sto per chiedervi potrà sembrarvi banale, ma io proprio non ci arrivo.... Ho guardato un po' dei vecchi topic sulle serie, ma non mi hanno aiutato un granchè a capire il mio problema:
Quando mi trovo davanti una serie, e voglio studiarne il carattere con il criterio del confronto, come faccio a decidere con quale altra serie maggiorarla? Come lo stabilisco?
Esempi:
$\sum_{n=0}^\infty\frac{n^3+5}{n^5+2}$ per n che tende a infinito si comporta come $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2}$ quindi converge, e qui ok
$\sum_{n=0}^\infty\sen(frac{1}{n^2})$ con chi confronto ????
$\sum_{n=0}^\infty\cos(frac{1}{n^2})$ con chi confronto ????
$\sum_{n=0}^\infty\ln(1+frac{1}{n})$ con chi confronto ????
$\sum_{n=0}^\infty\tg(frac{n}{n^2+1})$ con chi confronto ????
$\sum_{n=0}^\infty\arctg(frac{1}{n})$ con chi confronto ????
Grazie mille a tutti
Risposte
"manuxy84":
$\sum_{n=0}^\infty\frac{n^3+5}{n^5+2}$ per n che tende a infinito si comporta come $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2}$ quindi converge, e qui ok
Ok. La successione degli addendi è infinitesima d'ordine due, perciò ti è lecito maggiorare la serie termine a termine con un multiplo della serie $\sum1/n^2$.
"manuxy84":
$\sum_{n=0}^\infty\sen(frac{1}{n^2})$ con chi confronto ????
Visto che $lim_(xto 0)(sin x)/x=1$ allora hai $lim_(n to +oo) (sin(1/n^2))/(1/n^2)=1$, onde la successione degli addendi è di nuovo infinitesimo d'ordine due e procedi come nel caso precedente.
"manuxy84":
$\sum_{n=0}^\infty\cos(frac{1}{n^2})$ con chi confronto ????
Visto che $lim_(x to 0) cosx=1$ allora hai $lim_(n to +oo) cos(1/n^2)=1$, onde non è verificata la condizione necessaria alla convergenza. La serie diverge.
"manuxy84":
$\sum_{n=0}^\infty\ln(1+frac{1}{n})$ con chi confronto ????
Sai che $lim_(x to 0) (log(1+x))/x=1$ e ciò implica $lim_(n to +oo) (log(1+1/n))/(1/n)=1$, per cui la successione dei tuoi addendi è infinitesima d'ordine uno: pertanto puoi minorarla con una serie multipla della serie armonica $\sum 1/n$ che è positivamente divergente.
"manuxy84":
$\sum_{n=0}^\infty\tg(frac{n}{n^2+1})$ con chi confronto ????
Anche qui è $lim_(xto 0)(tan x)/x=1$, quindi $lim_(nto +oo) (tan(n/(n^2+1)))/(n/(n^2+1))=1$: ne consegue che $tan(n/(n^2+1))$ è infinitesimo dello stesso ordine di $n/(n^2+1)$ e quest'ultima successione è infinitesima d'ordine uno. Pertanto puoi minorare come nel caso precedente e concludere che la serie non converge.
"manuxy84":
$\sum_{n=0}^\infty\arctg(frac{1}{n})$ con chi confronto ????
Dal limite fondamentale $lim_(xto 0)(arctgx)/x=1$ trai $lim_(nto +oo) (arctg(1/n))/(1/n)=1$, cosicchè la successione degli addendi è infinitesima d'ordine uno e puoi procedere come nel caso precedente.
Assolutamente esaustiva come risposta, e ti ringrazio molto.
Ma temo che qualcosa mi sfugga.... se $sum_{n=0}^\infty\arctg(1/n)$ si comporta come $sum_{n=0}^\infty\1/n$ non dovrebbe divergere? E così anche $sum_{n=0}^\infty\tg(n/(n^2+1))$ ???
E se invece ho delle serie formate da più cose?
Ad esempio $sum_{n=0}^\infty\1- cos(1/n)$
Oppure se ho $sum_{n=0}^\infty\ln((n^2)/(n+5))$
$sum_{n=0}^\infty\cos(n^4)$
$sum_{n=0}^\infty\sen(n^4)$
$sum_{n=0}^\infty\arctan(n^4+6)$
$sum_{n=0}^\infty\tg(n^2)$
Grazie ancora
Ma temo che qualcosa mi sfugga.... se $sum_{n=0}^\infty\arctg(1/n)$ si comporta come $sum_{n=0}^\infty\1/n$ non dovrebbe divergere? E così anche $sum_{n=0}^\infty\tg(n/(n^2+1))$ ???
E se invece ho delle serie formate da più cose?
Ad esempio $sum_{n=0}^\infty\1- cos(1/n)$
Oppure se ho $sum_{n=0}^\infty\ln((n^2)/(n+5))$
$sum_{n=0}^\infty\cos(n^4)$
$sum_{n=0}^\infty\sen(n^4)$
$sum_{n=0}^\infty\arctan(n^4+6)$
$sum_{n=0}^\infty\tg(n^2)$
Grazie ancora
La maggiorazione non è sempre necessaria.
Come ti ha mostrato gugo82 esistono altri criteri per studiare il carattere di una serie.
In generale, siano ${a_n}$, ${b_n}$ due successioni. Si dimostra che se $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} =1$ allora le serie $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ e $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ hanno lo stesso carattere rispetto alla sommabilità.
Cioè se una delle due è sommabile, allora lo è anche l'altra.
Questo è stato usato quasi ovunque negli esercizi che ha svolto gugo82.
Si dimostra anche che una serie sommabile ha somma finita (converge).
Sono sommabili, ad esempio, le serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ e $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$.
Non è sommabile la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ perchè altrimenti sarebbe convergente, come invece non è.
Attenzione però ad usare il criterio per dimostrare la non-convergenza!
E' necessario fare delle considerazioni preliminari sul segno dei termini.
Per esempio studiamo il carattere di una delle serie che hai proposto:
$\sum_{n=1}^{\infty} 1-cos(\frac{1}{n})$
Abbiamo $\lim_{n \to +\infty} \frac{1-cos(\frac{1}{n})}{\frac{1}{2n^2}} =1$
(questo risultato è immediato se le funzioni trigonometriche sono state definite attraverso serie di potenze -modo eccezionale!-)
Quindi la serie $\sum_{n=1}^{\infty} 1-cos(\frac{1}{n})$ è sommabile perchè è sommabile anche la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^2}$. Una serie sommabile è convergente e quindi la serie in questione converge!
Come ti ha mostrato gugo82 esistono altri criteri per studiare il carattere di una serie.
In generale, siano ${a_n}$, ${b_n}$ due successioni. Si dimostra che se $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} =1$ allora le serie $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ e $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ hanno lo stesso carattere rispetto alla sommabilità.
Cioè se una delle due è sommabile, allora lo è anche l'altra.
Questo è stato usato quasi ovunque negli esercizi che ha svolto gugo82.
Si dimostra anche che una serie sommabile ha somma finita (converge).
Sono sommabili, ad esempio, le serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ e $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$.
Non è sommabile la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ perchè altrimenti sarebbe convergente, come invece non è.
Attenzione però ad usare il criterio per dimostrare la non-convergenza!
E' necessario fare delle considerazioni preliminari sul segno dei termini.
Per esempio studiamo il carattere di una delle serie che hai proposto:
$\sum_{n=1}^{\infty} 1-cos(\frac{1}{n})$
Abbiamo $\lim_{n \to +\infty} \frac{1-cos(\frac{1}{n})}{\frac{1}{2n^2}} =1$
(questo risultato è immediato se le funzioni trigonometriche sono state definite attraverso serie di potenze -modo eccezionale!-)
Quindi la serie $\sum_{n=1}^{\infty} 1-cos(\frac{1}{n})$ è sommabile perchè è sommabile anche la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^2}$. Una serie sommabile è convergente e quindi la serie in questione converge!
"Russell":
Per esempio studiamo il carattere di una delle serie che hai proposto:
$\sum_{n=1}^{\infty} 1-cos(\frac{1}{n})$
Abbiamo $\lim_{n \to +\infty} \frac{1-cos(\frac{1}{n})}{\frac{1}{2n^2}} =1$
(questo risultato è immediato se le funzioni trigonometriche sono state definite attraverso serie di potenze -modo eccezionale!-)
Innanzitutto grazie mille per la risposta. Cosa intendi esattamente quando dici "questo risultato è immediato se le funzioni trigonometriche sono state definite attraverso serie di potenze " ? E perchè hai preso proprio $frac{1}{2n^2}$ ???
Per quanto riguarda le altre serie mi sapete dare qualche dritta ? Devo definire le funzioni trigonometriche attraverso serie di potenze?
Grazie a tutti.
Dalla domanda che hai fatto mi pare di capire che le funzioni goniometriche NON ti sono state definite come serie di potenze...
Il modo in cui definire tali funzioni non è lasciato a te, ma all'insegnante che imposta il corso...
L'insegnante sceglie una definizione e, disgraziatamente, tutte le altre "definizioni" equivalenti vanno dimostrate!
Conosci gli sviluppi in serie di Taylor ??
Il modo in cui definire tali funzioni non è lasciato a te, ma all'insegnante che imposta il corso...
L'insegnante sceglie una definizione e, disgraziatamente, tutte le altre "definizioni" equivalenti vanno dimostrate!
Conosci gli sviluppi in serie di Taylor ??
Sì, conosco gli sviluppi in serie di taylor, e avevo sospettato che bisognasse utilizzare questi, ma non sempre riesco ad applicarli... Il fatto è che non ho avuto mai la possibilità di seguire lezioni, quindi mai nessuno mi ha spiegato come funziona esattamente.
Puoi darmi qualche indicazione tu?
Grazie mille
Puoi darmi qualche indicazione tu?
Grazie mille
Ci provo (nel mio corso la definizione tramite serie di potenze ci ha consentito di rimandare Taylor)
Allora...dovresti riuscire ad affermare (con Taylor) che
$\cos (n) = 1- \frac{n^2}{2}+ \frac{n^4}{4!} + ......$ sviluppando in $0$
Quindi
$\cos (\frac{1}{n}) = 1- \frac{1}{2n^2}+ \frac{1}{4! n^4} - ......$ per $n \to \infty$
Allora
$1-cos(\frac{1}{n})= \frac{1}{2n^2}- \frac{1}{4! n^4} +..... $ per $n \to \infty$
Per $n \to \infty$ il termine preponderante è $\frac{1}{2n^2}$ perchè tutti gli altri sono trascurabili rispetto ad esso. (Non so se le parole che ho scritto in neretto sono state definite nel tuo corso...se no devi rifarti alla teoria che ti è nota).
Quindi $\lim_{n \to \infty} \frac{1-cos(\frac{1}{n})}{\frac{1}{2n^2}}=1$ come anticipato.
I criteri sulla sommabilità ti permettono di concludere...ammesso e non concesso che usiate quelli come riferimento (ci sono tanti modi di fare analisi)
A che corso di laurea sei iscritto, se posso chiederlo?
Allora...dovresti riuscire ad affermare (con Taylor) che
$\cos (n) = 1- \frac{n^2}{2}+ \frac{n^4}{4!} + ......$ sviluppando in $0$
Quindi
$\cos (\frac{1}{n}) = 1- \frac{1}{2n^2}+ \frac{1}{4! n^4} - ......$ per $n \to \infty$
Allora
$1-cos(\frac{1}{n})= \frac{1}{2n^2}- \frac{1}{4! n^4} +..... $ per $n \to \infty$
Per $n \to \infty$ il termine preponderante è $\frac{1}{2n^2}$ perchè tutti gli altri sono trascurabili rispetto ad esso. (Non so se le parole che ho scritto in neretto sono state definite nel tuo corso...se no devi rifarti alla teoria che ti è nota).
Quindi $\lim_{n \to \infty} \frac{1-cos(\frac{1}{n})}{\frac{1}{2n^2}}=1$ come anticipato.
I criteri sulla sommabilità ti permettono di concludere...ammesso e non concesso che usiate quelli come riferimento (ci sono tanti modi di fare analisi)
A che corso di laurea sei iscritto, se posso chiederlo?
Sono iscritta al corso di laurea in matematica della facoltà di scienze mfn....
Infatti mi vergogno un po' ad aver chiesto delle cose così basilari, ma purtroppo....
Ti ringrazio davvero molto per le tue indicazioni, e ora le cose mi sono sicuramente più chiare di prima.
"Per $n ->infty$ il termine preponderante è $1/(2n^2)$ perchè tutti gli altri sono trascurabili rispetto ad esso. (Non so se le parole che ho scritto in neretto sono state definite nel tuo corso...se no devi rifarti alla teoria che ti è nota)."
E questo mi è chiaro, ma allora come mi devo comportare se devo studiare una serie del tipo $\sum_{n=0}^\infty\cos(n^4)$ ? Anche qui devo utilizzare Taylor? Perchè in questo caso il termine preponderante non sarebbe il primo della serie, quindi come si fa?
Ti chiedo scusa per le mie domande banali...
Grazie ancora
Infatti mi vergogno un po' ad aver chiesto delle cose così basilari, ma purtroppo....
Ti ringrazio davvero molto per le tue indicazioni, e ora le cose mi sono sicuramente più chiare di prima.
"Per $n ->infty$ il termine preponderante è $1/(2n^2)$ perchè tutti gli altri sono trascurabili rispetto ad esso. (Non so se le parole che ho scritto in neretto sono state definite nel tuo corso...se no devi rifarti alla teoria che ti è nota)."
E questo mi è chiaro, ma allora come mi devo comportare se devo studiare una serie del tipo $\sum_{n=0}^\infty\cos(n^4)$ ? Anche qui devo utilizzare Taylor? Perchè in questo caso il termine preponderante non sarebbe il primo della serie, quindi come si fa?
Ti chiedo scusa per le mie domande banali...
Grazie ancora
Le tue domande non sono affatto banali !!!
Ti ho chiesto il corso di laurea perchè di solito l'impostazione è simile per corsi di laurea affini.... tutto qua...
Lo studio di serie come l'ultima che hai proposto non mi è familiare...
Magari provo a reperire qualche informazione in più...
Ti ho chiesto il corso di laurea perchè di solito l'impostazione è simile per corsi di laurea affini.... tutto qua...
Lo studio di serie come l'ultima che hai proposto non mi è familiare...
Magari provo a reperire qualche informazione in più...
"manuxy84":
Sono iscritta al corso di laurea in matematica della facoltà di scienze mfn....
Infatti mi vergogno un po' ad aver chiesto delle cose così basilari, ma purtroppo....
Ti ringrazio davvero molto per le tue indicazioni, e ora le cose mi sono sicuramente più chiare di prima.
Benvenuta tra i matematici.
"manuxy84":
"Per $n ->infty$ il termine preponderante è $1/(2n^2)$ perchè tutti gli altri sono trascurabili rispetto ad esso. (Non so se le parole che ho scritto in neretto sono state definite nel tuo corso...se no devi rifarti alla teoria che ti è nota)."
E questo mi è chiaro, ma allora come mi devo comportare se devo studiare una serie del tipo $\sum_{n=0}^\infty\cos(n^4)$ ? Anche qui devo utilizzare Taylor? Perchè in questo caso il termine preponderante non sarebbe il primo della serie, quindi come si fa?
Visto che il coseno non è regolare in $+oo$ (ricorda che non esiste il $lim_(xto +oo) cosx$ perchè risulta $minlim_(x to +oo) cos x=-1, maxlim_(xto +oo)cos x =1$) non è regolare nemmeno la successione di termine generale $cos n^4$. Pertanto non è verificata la condizione necessaria alla convergenza* della serie $\sum cos n^4$ e la tua serie non può convergere (a occhio e croce direi che non può nemmeno divergere, quindi credo sia indeterminata).
"manuxy84":
Ti chiedo scusa per le mie domande banali...
Grazie ancora
Sono poche le domende veramente banali e quelle che poni non lo sono affatto.
Figurati che in matemetica non è banale nemmeno la domanda "Ma $2+2$ farà $4$?", poichè come noto il risultato di $2+2$ cambia a seconda della struttura algebrica in cui svolgi l'operazione.
Ciao e buono studio.
_____________
* A scanso di equivoci la ricordo: "Affinchè la serie di numeir reali $\sum a_n$ sia convergente è necessario che risulti $lim_(n to +oo) a_n=0$; per contro, se la successione degli addendi $(a_n)$ non ha limite oppure ha limite diverso da zero in $+oo$ allora la serie $\sum a_n$ non può convergere".
Per inciso, questo semplice criterio per escludere la convergenza si applica a tutte le serie che hai postato qui.
"gugo82":
Affinchè la serie di numeir reali $\sum a_n$ sia convergente è necessario che risulti $lim_(n to +oo) a_n=0$; per contro, se la successione degli addendi $(a_n)$ non ha limite oppure ha limite diverso da zero in $+oo$ allora la serie $\sum a_n$ non può convergere".
Per inciso, questo semplice criterio per escludere la convergenza si applica a tutte le serie che hai postato qui.
Vero! Ieri sera ero così fusa che mi è sfuggito anche questo....
Ringrazio tutti infinitamente, questo forum mi piace un sacco, e credo che mi potrà essere di grande aiuto!
Grazie mille
ciao
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