Come si fa per studiare la convergenza di una serie

[france9312]

Buonasera devo studiare la convergenza di una serie
Serie con n=1 a infinito di log [1/(n^(1/2))]

Non riesco a studiare la convergenza, ho provato con il criterio del rapporto ma non sono arrivata a nulla..
Aiutatemi!

[SirRa]

Ciao,
le ipotesi per il teorema del rapporto sono soddisfatte nel caso in esame, purtroppo, però, non è una strada utile poiché il limite viene 1 e quindi rimani in un caso indecidibile.

Proviamo a scrivere, utilizzando le proprietà dei logaritmi, la seri così:

[math]\sum_{n=1}^{\infty} \log\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}-\log{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} -\frac{1}{2}\log{{n}}[/math]

Dove ora posso portare fuori -1/2 fuori dalla sommatoria poiché è una costante:

[math]-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \log{n}[/math]

Ora puoi osservare che la funzione

[math]\log{n}[/math]

è crescente e superiormente illimitata, in più

[math]\log{n} > \frac{1}{x}[/math]

da un certo valore in poi, dove

[math]\frac{1}{x}[/math]

è il termine generale della serie armonica divergente; perciò la serie di partenza diverge per il criterio del confronto.