Come si fa a determinare la classe di una funzione?
data una qualsiasi funzione come faccio a dire che una funzione è di classe per esempio $C^o$ o $C^oo$ o $C^1$ o $C^150$?
Risposte
Devi verificare qual è l'ordine massimo di derivata continua della funzione .
Se è continua , ma già la derivata prima non è continua allora è di classe $C^0$ , ad esempio $ y =|x| $.
E' di classe $C^(oo) $ se è infinitamente derivabile ad es $ y = e^x $ oppure $ y = senx $ etc .
Ad esempio $y=x^2 |x | $ è di classe $C^1$.
Se è continua , ma già la derivata prima non è continua allora è di classe $C^0$ , ad esempio $ y =|x| $.
E' di classe $C^(oo) $ se è infinitamente derivabile ad es $ y = e^x $ oppure $ y = senx $ etc .
Ad esempio $y=x^2 |x | $ è di classe $C^1$.
Giusto per dare un senso (che è ovvio intuitivamente) all'idea di infinitamente derivabile aggiungo che si definisce $C^\infty = \bigcap_{n \in NN} C^n$
si ma una volta che ho una funzione come faccio a dire di che classe è? mi devo fare cento derivate? non penso proprio... cis sarà un metodo....se si quale?
Penso che nella definizione di Camillo il metodo ci fosse... dopo un po' di esercizi vedrai che classi come 150 non capitano granché (a meno di costruire una funzione appositamente)... potresti iniziare dimostrando che:
I polinomi sono $C^infty$ ma da un certo punto in poi le derivate sono costantemente nulle
L'esponenziale è $C^infty$
Le funzioni goniometriche seno e coseno sono $C^{infty}$
La somma di due funzioni $C^infty$ è ancora $C^infty$? E il prodotto? E la composizione (quando esiste)?
I polinomi sono $C^infty$ ma da un certo punto in poi le derivate sono costantemente nulle
L'esponenziale è $C^infty$
Le funzioni goniometriche seno e coseno sono $C^{infty}$
La somma di due funzioni $C^infty$ è ancora $C^infty$? E il prodotto? E la composizione (quando esiste)?
e la composizione il prodotto la somma come viene?
se ho $C^o+C^oo$ ad esempio?
se ho $C^o+C^oo$ ad esempio?
Se f è derivabile e anche g lo è lo sarà anche f+g, con derivata f' + g' ... capito cosa intendevo?
Non solo, anche il loro prodotto lo sarà e varrà f'g+fg'.
Da queste osservazioni puoi generalizzare il risultato: se f e g sono derivabili infinite volte lo è anche la somma. torna?
Non solo, anche il loro prodotto lo sarà e varrà f'g+fg'.
Da queste osservazioni puoi generalizzare il risultato: se f e g sono derivabili infinite volte lo è anche la somma. torna?
Ecco un esempio più elaborato di funzione $in C^(oo) $ .
$phi(x)= e^(-1/x) $ se $x>0 $
$phi(x)= 0 $ se $x<=0 $.
Dico che $phi(x) in C^(oo)(RR) $ .
Infatti l'unico punto critico per la regolarità della funzione è $ x=0 $ .
Per $ x > 0 $ la derivata k-esima (con $k>=0 $, arbitrario ) ha la struttura $phi^(k)(x) = phi(x)P_k(1/x) $ dove $P_k $ è un polinomio dipendente da k.
Segue che $ lim_(x rarr0^(+)) phi^(k)(x) =0 $ per ogni k e da questo fatto si vede facilemnte per induzione che tutte le derivate in $x=0 $ esistono e sono nulle.
$phi(x)= e^(-1/x) $ se $x>0 $
$phi(x)= 0 $ se $x<=0 $.
Dico che $phi(x) in C^(oo)(RR) $ .
Infatti l'unico punto critico per la regolarità della funzione è $ x=0 $ .
Per $ x > 0 $ la derivata k-esima (con $k>=0 $, arbitrario ) ha la struttura $phi^(k)(x) = phi(x)P_k(1/x) $ dove $P_k $ è un polinomio dipendente da k.
Segue che $ lim_(x rarr0^(+)) phi^(k)(x) =0 $ per ogni k e da questo fatto si vede facilemnte per induzione che tutte le derivate in $x=0 $ esistono e sono nulle.
ok... grazie... e se una è di classe C zero e l'altra di classe C infinito la loro composta di che classe è?
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