Come si calcola la derivata in questi casi...

[BoG3]

Caio a tutti, non ho afferrato questo argomento:
se ho questo esercizio:

calcola la $k+1$-esima derivata della $k$-esima derivata di una funzione $f(x)$.

$f^(k)= (-1)^(k+1) ((k-1)!)/(1+x)^(k)$

io questa potrei anche pensarla come:

$f^(k+1)= [(-1)^(k+1) (k-1)!]' * [1/(1+x)^(k)]'$ dato che $ [(-1)^(k+1) (k-1)!]' $ è la derivata di una costante.. mi risulta fuori che la derivata e' zero .. che è sbagliato!

potete aiutarmi?

[BoG3]

ok, allora se io faccio:

$f^(k)= (-1)^(k+1) ((k-1)!)/(1+x)^(k)$

poi lo scrivo come:

$f^(k)= (-1)^(k+1) (k-1)! *(1+x)^(-k)$ poi derivo e ottengo:

$f^(k)= (-k)(-1)^(k+1) (k-1)! *(1+x)^(-k-1) * 1$ poi riordino:

$f^(k)= (-1)^(k+1) (-k)(k-1)! *(1+x)^(-k-1)$ ora esprimo $(-k)$ come $(-1)*k$:

$f^(k)= (-1)(-1)^(k+1) (k)(k-1)! *(1+x)^(-k-1)$, poi faccio diventare $(1+x)^(-k-1)$, trasformando esponente da negativo a positivo: $1/(1+x)^(k+1)$ ed ottengo:

$f^(k)= (-1)^(k+2) (k)! 1/(1+x)^(k+1)$

giusto?

[gugo82]

No, perchè hai [tex]$f^{(k+1)}$[/tex] al primo membro dell'ultima uguaglianza, non [tex]$f^{(k)}$[/tex]...

Insomma la formula giusta è:

[tex]$f^{(k+1)}(x)=\frac{(-1)^{k+2} k!}{(1+x)^{k+1}}$[/tex].

Comunque, se non ho capito male, devi derivare [tex]$k+1$[/tex] volte [tex]$f^{(k)}$[/tex]... Hai provato per induzione che per ogni indice vale la formula assegnata nel testo; a questo punto, la derivata [tex]$k+1$[/tex]-esima di [tex]$f^{(k)}$[/tex] è [tex]$f^{(2k+1)}$[/tex], ergo basta sostituire [tex]$2k+1$[/tex] al posto di [tex]$k$[/tex] nella formula assegnata.