Come risolvereste (1/x)^sin(1/x)?
come risolvereste $lim_(x->oo)(1/x)^sin(1/x)$?
Risposte
Di solito, quando si ha una forma indeterminata con funzioni del tipo $f(x)^g(x)$, si procede in questo modo:
$lim_x e^(log_e(f(x))^(g(x)))=lim_xe^(g(x)log(f(x)))$
e si spera di arrivare da qualche parte...
$lim_x e^(log_e(f(x))^(g(x)))=lim_xe^(g(x)log(f(x)))$
e si spera di arrivare da qualche parte...
lo so bene... e ci ho provato... ma sembra una strada buia...
mi pare che una volta attuato il suggerimento di Dorian, passaggio che a quanto pare avresti già fatto per conto tuo, potresti applicare l'Hopital all'esponente scritto come $((log(1/x)))/((1/(sen(1/x))))$. hai già provato? oppure non puoi applicare l'Hopital? ciao.
Prova con questa sostituzione
$1/x=y$ A questo punto scrivi ovviamente
$y to 0$...
Poi scrivi come ha suggerito Dorian e arrivi al risultato applicando un volta l'hopital...
$1/x=y$ A questo punto scrivi ovviamente
$y to 0$...
Poi scrivi come ha suggerito Dorian e arrivi al risultato applicando un volta l'hopital...
si scrive (1/x)^(sin(1/x)) come e^((ln(1/x))^(sin(1/x))) =e^(sin(1/x) * ln(1/x))
Si possono semplificare i conti con la sostituzione y=1/x, con y->0
Poi si scrive nella forma e^[(lny)/(1/(siny))] e si usa de l'Hopital all'esponente
e^((lny)/(1/(siny)))->e^((1/y)/(-cosy/(siny)^2))->e^(-((siny)^2)/(y cosy))->e^(-((siny)/y)*(siny/ cosy))
poichè siny/y->1, cosy->1, siny->0
e^(-((siny)/y)*(siny/ cosy))->e^(-1*(0/1))=e^0=1
speriamo che sia chiaro!
Si possono semplificare i conti con la sostituzione y=1/x, con y->0
Poi si scrive nella forma e^[(lny)/(1/(siny))] e si usa de l'Hopital all'esponente
e^((lny)/(1/(siny)))->e^((1/y)/(-cosy/(siny)^2))->e^(-((siny)^2)/(y cosy))->e^(-((siny)/y)*(siny/ cosy))
poichè siny/y->1, cosy->1, siny->0
e^(-((siny)/y)*(siny/ cosy))->e^(-1*(0/1))=e^0=1
speriamo che sia chiaro!
Secondo me non c'è bisogno di usare la regola di l'Hopital. Dopo la sostituzione suggerita da f.bisecco, si arriva a $e^(siny*logy)$. Per $y\to0$, che ordine di infinitesimo/infinito hanno seno e logaritmo?
Il problema è che la funzione logaritmo nell'intorno di $0$ può dare fastidio...Per dirla tutta il limite sinistro nel'intorno di $0$ non esiste e il limite destro diverge a $-oo$..
C'è da dire che usare L'Hopital non è una "scappatoia" e quindi quando si può applicarlo può divenire salvifico...
Se poi vi sta proprio antipatico moltiplicate e dividete l'esponente della funzione $e^(sinylny)$ almeno così vi levate il seno da mezzo e ragionate sul prodotto $ylny$
"f.bisecco":
Il problema è che la funzione logaritmo nell'intorno di $0$ può dare fastidio...Per dirla tutta il limite sinistro nel'intorno di $0$ non esiste e il limite destro diverge a $-oo$..
Ma secondo me è un problema solo formale: quando sostituiamo $y=1/x$, poi dobbiamo passare a calcolare il limite per $y\to0^+$, ovviamente. Infatti quando $x\to+infty$, $1/x\to0$ ma restando positiva.
Per quanto riguarda il fatto che l'Hopital sia o meno una scappatoia, invece, io [IMHO]considererei più istruttivo usarlo il meno possibile, almeno negli esercizi di routine. La regola di l'Hopital deve la sua importanza alla possibilità di usare le regole automatiche del calculus per il calcolo dei limiti. Va benissimo per le macchine, ma noi siamo esseri umani e spesso possiamo fornire soluzioni meno asettiche.[/imho]
Non mi trovo molto d'accordo con dissonance: spesso nell'usare la regola di De L'Hospital ci vuole una certa astuzia ed un certo ingegno. Poi, ovviamente, ognuno dalle sue esperienze trae le proprie considerazioni.
Io penso di averlo risolto! Con Mathematica mi da lo stesso risultato e spero di esserci arrivato bene!
Comunque
$f(x) = (1/x)^sin(1/x)$
Il seno di un infinitesimo è approssimabile al suo infinitesimo in questo caso $1/x$ e dunque il limite diventa
$lim_(x-> infty) (1/x)^(1/x)$ = $lim_(x-> infty) e^(-logx/x)$
ora possiamo fare il confronto di infiniti o addirittura applicare Hopital comunque sia abbiamo che l'esponente tende a $0$ e dunque il risultato del limite è $1$
spero di non aver detto cacchiate
Comunque
$f(x) = (1/x)^sin(1/x)$
Il seno di un infinitesimo è approssimabile al suo infinitesimo in questo caso $1/x$ e dunque il limite diventa
$lim_(x-> infty) (1/x)^(1/x)$ = $lim_(x-> infty) e^(-logx/x)$
ora possiamo fare il confronto di infiniti o addirittura applicare Hopital comunque sia abbiamo che l'esponente tende a $0$ e dunque il risultato del limite è $1$
spero di non aver detto cacchiate
Mi sembra giusto. Il punto è che quando dici $(1/x)^(sin(1/x))$ stai in realtà dicendo $e^(sin1/x*log1/x)$, e $sin$ in zero è un infinitesimo di ordine superiore all'ordine di infinito di $log$.
Sinceramente non saprei come risolverlo in altro modo! E comunque una funzione più bella non potevi proprio sceglierla eh 
[asvg]xmin = -2;
xmax = 2;
ymin = 0;
ymax = 1;
axes();
stroke="red";
plot("(1/x)^(sin(1/x))");[/asvg]
[asvg]xmin = -2;
xmax = 2;
ymin = 0;
ymax = 1;
axes();
stroke="red";
plot("(1/x)^(sin(1/x))");[/asvg]
[size=150]$t^(sint)$
$e^(sintlogt)$
$e^(logt/(1/sint))$
(H)
$e^((1/t)/(-cost/sint^2))$[/size]
però è ancora indeterminata... no?
$e^(sintlogt)$
$e^(logt/(1/sint))$
(H)
$e^((1/t)/(-cost/sint^2))$[/size]
però è ancora indeterminata... no?
Mi sembra di aver detto la stessa cosa...le strade sono multiple...
Volevo aggiungere che la cosa poco istruttiva è usare Mathematica per applicazioni così banali....L'Hopital è un teorema dell'analisi matematica che non è affatto meccanico come potreste pensare...Vi consiglio vivamente di studiare il teorema e la relativa dimostrazione...
Volevo aggiungere che la cosa poco istruttiva è usare Mathematica per applicazioni così banali....L'Hopital è un teorema dell'analisi matematica che non è affatto meccanico come potreste pensare...Vi consiglio vivamente di studiare il teorema e la relativa dimostrazione...
bisecco ma tu come andresti avanti? di nuovo con l'ospedale?
"f.bisecco":
Mi sembra di aver detto la stessa cosa...le strade sono multiple...
Volevo aggiungere che la cosa poco istruttiva è usare Mathematica per applicazioni così banali....L'Hopital è un teorema dell'analisi matematica che non è affatto meccanico come potreste pensare...Vi consiglio vivamente di studiare il teorema e la relativa dimostrazione...
Non penso sia cosa malvagia usare un'applicazione per avere prova di aver fatto giusto! Almeno il risultato finale! (Mathematica non te lo svolge, ti da il risultato)!
Nel mio penultimo post ti ho scritto che riesci semplicemente ad arrivare alla relazione $e^(sinylny)$
A questo punto hai più strade, ma se punti ad una risoluzione rigorosa e più immediata ti conviene procedere in questo modo:
$e^((siny/y)(ylny))$
Il primo fattore tende banalmente ad $1$
Il secondo puoi scriverlo come $lny/(1/y)$
A questo punto L'hopital è banalissimo e conviene usarlo al di là anche di un valido discorso sugli infinitesimi...quindi
$(1/y)(-y^2)=-y$ che per $y to 0$ va a $0$
ok??
A questo punto hai più strade, ma se punti ad una risoluzione rigorosa e più immediata ti conviene procedere in questo modo:
$e^((siny/y)(ylny))$
Il primo fattore tende banalmente ad $1$
Il secondo puoi scriverlo come $lny/(1/y)$
A questo punto L'hopital è banalissimo e conviene usarlo al di là anche di un valido discorso sugli infinitesimi...quindi
$(1/y)(-y^2)=-y$ che per $y to 0$ va a $0$
ok??
Infatti il software è ottimo per una verifica, ma non per conoscere il risultato a priori e cercare di arrivarci...
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