Come risolvere sistemi lineari a tre incognite con determinante uguale a zero

[markwhite996]

Salve,

risolvendo la matrice incompleta di un sistema a tre incognite ho ottenuto il determinante uguale a zero. Chiedendo ad un amico, mi ha detto di applicare l'algoritmo di Gauss ma cercando su internet non ho capito nulla. C'è qualcuno che potrebbe spiegarmelo nel modo più semplice possibile?

Il sistema è costituito dalle seguenti equazioni:

$ 2x-y+z=0 $
$ x+2y-z=1 $
$ 3x+y=1 $

[Oiram92]

Scriviamo la matrice completa del sistema ovvero :

\(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
3 & 1 & 0
\end{array} \;\;
\Bigg|\;\; \begin{array}{a}
0 \\
1 \\
1
\end{array}
\right) \)

il nostro scopo è quello di giungere ad una matrice triangolare del tipo :

\(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a{21} & a_{22} & 0 \\
a_{31} & 0 & 0
\end{array} \;\;
\Bigg|\;\; \begin{array}{a}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right) \)

per fare questo possiamo effettuare dei "magheggi" algebrici che consistono nel :

[*:1gzsswug]scambiare due righe è concesso[/*:1gzsswug]
[*:1gzsswug]moltiplicare un'intera riga (compreso il termine noto) per una costante è concesso[/*:1gzsswug]
[*:1gzsswug]sommare o sottrarre due righe è concesso[/*:1gzsswug]
[*:1gzsswug]... probabilmente mi sfugge altro ma credo siano sufficienti[/*:m:1gzsswug][/list:u:1gzsswug]

adesso, dalla matrice di partenza vediamo che il termine \(\displaystyle a_{33} = 0\) quindi procediamo sommando la riga \(\displaystyle 1 \) con la riga \(\displaystyle 2 \) in modo tale da far spuntare un altro \(\displaystyle 0 \), cioè :


\(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
3 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 0
\end{array} \;\;
\Bigg|\;\; \begin{array}{a}
0 \\
1 \\
1
\end{array}
\right) \)


già da qui è chiaro cosa succederà ma procediamo..per completare la matrice in forma triangolare andiamo a sottrarre le righe \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle 3 \) e otteniamo :


\(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \;\;
\Bigg|\;\; \begin{array}{a}
0 \\
1 \\
0
\end{array}
\right) \)


quindi l'ultima riga è una identità che possiamo escludere perchè non ci da nessuna informazione. Tornando al sistema di equazioni con questa matrice si ha :


\(\displaystyle \begin{cases} 2x-y+z=0 \\ 3x+y=1 \end{cases} \)


da cui si conclude facilmente che :


\(\displaystyle \begin{cases} y = 1 - 3x \\ z = 1 - 5x \end{cases} \)


e quindi il sistema ha infinite soluzioni date dalle terne \(\displaystyle (x,1-3x,1-5x) \) al variare di \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \)