Come risolvere questo integrale superficiale?

[anima123]

Ho in integrale superficiale del tipo
$int_S z(y - 2x) dsigma$

dove S è la superficie della calotta sferica $x^2 + y^2 + z^2 = 16 , z>=0$
che si proietta nel piano x,y , con dominio
$D={(x,y) : x^2 + 4y^2 = 4, x>=0, y>=0}$

Innanzitutto come parametrizzo la superficie? Se parametrizzo con le coordinate sferiche poi verrebbe un integrale triplo..
Un aiutino?

[enr87]

parametrizzazione cartesiana.
ora non ricordo molto bene la parametrizzazione in coordinate sferiche delle superfici, ma deve sempre risultarti che hai solo due variabili, la terza è fissata: se ci pensi bene in una sfera variano la latitudine e la longitudine, ma il raggio resta costante se sei sui punti della superficie

[anima123]

Per cui? Potresti scrivermi la parametrizzazione?

[enr87]

basta che scrivi z in funzione di x e y. nota che puoi farlo senza problemi grazie alla condizione z > 0.
ps: sei sicura di aver scritto bene il dominio D? non ci va una disuguaglianza sulla prima condizione?

[anima123]

sisi scusami. infatti è $<=4$
quindi mi stai dicendo che posso parametrizzare così :
${(x=x),(y=y),(z = sqrt(16 - x^2 - y^2)):} $

?

ci ho provato stamane, ma alla fine mi viene un integrale (doppio) davvero difficile da fare... perchè viene :
$int int_D sqrt(16 - x^2 - y^2) (y - 2x) dxdy = int_0^2 dx int_0^(sqrt(1 - 1/4 x^2)) [ysqrt(16 - x^2 - y^2) - 2xsqrt(16 - x^2 - y^2)]dy$

Il primo in dy è fattibile.. il secondo non tanto... potresti aiutarmi?

[anima123]

anzi no scusami.. mi sono dimenticato l'area della superficie... L'integrale diventa :

$int_0^2 dx int_0^(sqrt(1 - 1/4 x^2))[ ( y sqrt(16 - x^2 - y^2) - 2x sqrt(16 - x^2 - y^2) ) sqrt(1 - frac{x}{sqrt(16 - x^2 - y^2)} - frac{y}{sqrt(16 - x^2 - y^2)} ]]dy $

bene... e ora??

[anima123]

nessuno?