Come risolvere questo integrale?
Ciao, svolgendo un esercizio mi trovo a dover risolvere il seguente:
- Integrale $int_(-pi/4) ^(pi/4)(acostheta)/(a^2+b^2*cos^2theta)d heta$
Ho provato con paramentriche ma non mi torna, e altri metodi ma nessuno mi porta a una conclusione.
Grazie
- Integrale $int_(-pi/4) ^(pi/4)(acostheta)/(a^2+b^2*cos^2theta)d heta$
Ho provato con paramentriche ma non mi torna, e altri metodi ma nessuno mi porta a una conclusione.
Grazie
Risposte
Ciao mat.pasc,
Considererei l'integrale indefinito e scriverei $1 - sin^2\theta $ al posto di $cos^2\theta $, poi porrei $x := sin\theta \implies \text{d}x = cos\theta \text{d}\theta $
Considererei l'integrale indefinito e scriverei $1 - sin^2\theta $ al posto di $cos^2\theta $, poi porrei $x := sin\theta \implies \text{d}x = cos\theta \text{d}\theta $
Grazie mille!
Che stupido
, continuavo a impegolarmi in mille conti.
Che stupido
, continuavo a impegolarmi in mille conti.
"mat.pasc":
Grazie mille!
Prego!
"mat.pasc":
continuavo a impegolarmi in mille conti.
Beh, comunque qualche conto da fare c'è, alla fine dovresti ottenere il risultato seguente:
$\int (acos\theta)/(a^2+b^2 cos^2\theta)\text{d}\theta = \frac{a}{b\sqrt{a^2 + b^2}} \text{arctanh}(\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} sin\theta) + c $
Ho svolto con sostituzione $x=atan(s)$ dopo la prima sostituzione da te indicata.
Io ho fatto così:
$\int (acos\theta)/(a^2+b^2 cos^2\theta)\text{d}\theta = a \int (cos\theta)/(a^2+b^2 - b^2 sin^2\theta)\text{d}\theta $
Posto $ x := sin\theta \implies \text{d}x = cos\theta \text{d}\theta $, l'integrale indefinito diventa il seguente:
$ a \int (cos\theta)/(a^2+b^2 - b^2 sin^2\theta)\text{d}\theta = a \int (\text{d}x)/(a^2+b^2 - b^2 x^2) = a/(a^2 + b^2) \int (\text{d}x)/(1 - (b/sqrt{a^2 + b^2})^2 x^2) $
A questo punto, posto ancora $t := b/sqrt{a^2 + b^2} x \implies \text{d}t = b/sqrt{a^2 + b^2} \text{d}x $, si ha:
$ \int (acos\theta)/(a^2+b^2 cos^2\theta)\text{d}\theta = a \int (cos\theta)/(a^2+b^2 - b^2 sin^2\theta)\text{d}\theta = a \int (\text{d}x)/(a^2+b^2 - b^2 x^2) = $
$ = a/(a^2 + b^2) \int (\text{d}x)/(1 - (b/sqrt{a^2 + b^2})^2 x^2) = \frac{a}{b\sqrt{a^2 + b^2}} \int (\text{d}t)/(1 - t^2) = \frac{a}{b\sqrt{a^2 + b^2}} \text{arctanh}(t) + c = $
$ = \frac{a}{b\sqrt{a^2 + b^2}} \text{arctanh}(b/sqrt{a^2 + b^2} x) + c = \frac{a}{b\sqrt{a^2 + b^2}} \text{arctanh}(\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} sin\theta) + c $
Se non ti piace l'arcotangente iperbolica puoi anche considerare che $ \int (\text{d}t)/(1 - t^2) = 1/2 ln|\frac{1 + t}{1 - t}| + c $
$\int (acos\theta)/(a^2+b^2 cos^2\theta)\text{d}\theta = a \int (cos\theta)/(a^2+b^2 - b^2 sin^2\theta)\text{d}\theta $
Posto $ x := sin\theta \implies \text{d}x = cos\theta \text{d}\theta $, l'integrale indefinito diventa il seguente:
$ a \int (cos\theta)/(a^2+b^2 - b^2 sin^2\theta)\text{d}\theta = a \int (\text{d}x)/(a^2+b^2 - b^2 x^2) = a/(a^2 + b^2) \int (\text{d}x)/(1 - (b/sqrt{a^2 + b^2})^2 x^2) $
A questo punto, posto ancora $t := b/sqrt{a^2 + b^2} x \implies \text{d}t = b/sqrt{a^2 + b^2} \text{d}x $, si ha:
$ \int (acos\theta)/(a^2+b^2 cos^2\theta)\text{d}\theta = a \int (cos\theta)/(a^2+b^2 - b^2 sin^2\theta)\text{d}\theta = a \int (\text{d}x)/(a^2+b^2 - b^2 x^2) = $
$ = a/(a^2 + b^2) \int (\text{d}x)/(1 - (b/sqrt{a^2 + b^2})^2 x^2) = \frac{a}{b\sqrt{a^2 + b^2}} \int (\text{d}t)/(1 - t^2) = \frac{a}{b\sqrt{a^2 + b^2}} \text{arctanh}(t) + c = $
$ = \frac{a}{b\sqrt{a^2 + b^2}} \text{arctanh}(b/sqrt{a^2 + b^2} x) + c = \frac{a}{b\sqrt{a^2 + b^2}} \text{arctanh}(\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} sin\theta) + c $
Se non ti piace l'arcotangente iperbolica puoi anche considerare che $ \int (\text{d}t)/(1 - t^2) = 1/2 ln|\frac{1 + t}{1 - t}| + c $
Wow grazie, complimenti!
In effetti avevo sbagliato un segno da vero asino. Mi piacerebbe esere cosi bravo non capisco come ricordare tutte queste cose!
Grazie ancora
In effetti avevo sbagliato un segno da vero asino. Mi piacerebbe esere cosi bravo non capisco come ricordare tutte queste cose!
Grazie ancora
"mat.pasc":
Wow grazie, complimenti!
Grazie!
"mat.pasc":
Mi piacerebbe essere cosi bravo non capisco come ricordare tutte queste cose!
Ah, non saprei come aiutarti: io non mi ricordo niente...
Comunque non è che si è bravi o si diventa bravi ricordando molte cose, ma imparando come ci si muove: e questo si impara con l'esperienza e soprattutto (almeno per me è successo così) comprendendo bene le cose ed approfondendole mediante lo studio personale (che non è sempre e solo quello che serve per passare l'esame di turno, anzi direi quasi mai...
)
Hai ragione, però certe volte dimentico quale sostituzione sia migliore tra le millemila esistenti: quella di eulero, seni cosenti tangenti secanti per fratti e mica fratti ecc...! Ci sono millemila casi 
e mi perdo.
Ti ringrazio molto per l'ottimo consiglio
.
e mi perdo.Ti ringrazio molto per l'ottimo consiglio
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