Come risolvere questa serie?

[canto46]

Buongiorno a tutti... Svolgendo degli esercizi di Analisi, mi sono imbattuto in questa Serie, proposta sul Crasta-Malusa. La Serie è la seguente:

$\sum_{n=1}^N log(1+1/sqrt(n))/(1/sqrt(n))$

L'unica cosa che mi venga in mente è che, sfruttando gli Asintotici, $\log(1+1/sqrt(n))$ sia asintotico a $\1/sqrt(n)$ , ma non so come avanzare...
Aiutatemi, per favore...!
Ringraziandovi anticipatamente,

Canto46

[gugo82]

A scuola si insegna a vedere, innanzitutto, se è verificata la condizione necessaria alla convergenza.

[ciampax]

"Gugo82":A scuola si insegna a vedere, innanzitutto, se è verificata la condizione necessaria alla convergenza.

Scusa Gugo, dici questa condizione:

Se una serie converge allora $\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n=0$ ?

E scusa a che serve farlo se devi solo determinare la convergenza! Ti pare che uno che vuole risolvere un esercizio sulle serie gli interessi qualcosa di sapere questo fatto?

[canto46]

Grazie, Ciampax, vedo che hai inteso quale fosse la richiesta legata alla mia domanda... Continua però a rimanermi il dubbio...

[piero_1]

"canto46":Grazie, Ciampax, vedo che hai inteso quale fosse la richiesta legata alla mia domanda... Continua però a rimanermi il dubbio...

Devi valutare solo il carattere o stabilirne anche il valore?

[canto46]

Ciao Piero_ , devo solamente stabilirne il carattere... Aspetto illumiunazioni su come fare! Grazie...!

[ciampax]

Ehm, veramente la mia osservazione era ironica! Nel senso che davo ragione a Gugo.... ma mi sa che non s'era capito!

[piero_1]

Se devi calcolare il carattere, devi seguire il consiglio di Gugo...e magari rivederti i criteri di convergenza.

[canto46]

Mmm... Chiedo semplicemente un consiglio, dato che per Analisi 2 (al Politecnico di Milano) ho avuto la fortuna di trovare una "docente" che ha pensato bene di liquidare le serie in cinque lezioni, giusto perchè le avrebbe dovute mettere nella prima Prova in Itinere. E' ovvio che, nel caso in cui ragioni sul limite a più infinito, possa scrivere (asintoticamente parlando)il numeratore come $\1/sqrt(n)$ e quindi semplificarlo con il denominatore, ma vi sto chiedendo informazioni su come ragionare sulla SERIE, dato che mi trovo a dover risolverle praticamente a digiuno di Teoria... GRAZIE!

[ciampax]

Allora non hai capito? La prima cosa che devi fare per RAGIONARE SULLA SERIE è calcolare quanto fa il

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\log(1+1/\sqrt{n})}{1/\sqrt{n}}$.

Se non viene zero, la serie NON CONVERGE! Ora hai capito?

A proposito, chi è il Prof.?

[canto46]

Visto che, semplificando, otteniamo 1, la serie divergerà! Buono a sapersi! Chi l' aveva sentito, durante la lezione?? La Prof. è la Dottoressa M******i, comunque.

[piero_1]

"canto46":Mmm... Chiedo semplicemente un consiglio, dato che per Analisi 2 (al Politecnico di Milano) ho avuto la fortuna di trovare una "docente" che ha pensato bene di liquidare le serie in cinque lezioni, giusto perchè le avrebbe dovute mettere nella prima Prova in Itinere. E' ovvio che, nel caso in cui ragioni sul limite a più infinito, possa scrivere (asintoticamente parlando)il numeratore come $\1/sqrt(n)$ e quindi semplificarlo con il denominatore, ma vi sto chiedendo informazioni su come ragionare sulla SERIE, dato che mi trovo a dover risolverle praticamente a digiuno di Teoria... GRAZIE!

Il primo teorema che esprime una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza:
Teorema di Cauchy:
Se una serie converge, il suo termine generale $a_n$ tende a zero al crescere indefinitivamente dell’ indice n, ovvero:
$\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n=0$

condizione necessaria...prova a trovare un controesempio

[regim]

Una serie si simboleggia con infinito sopra, ma va beh, quella serie non converge, se infatti sostituisci $m^2$ al posto di $n$, hai un punto limite della successione dei termini della serie, che é $log(e)$, quindi non puó convergere a zero, e allora la serie non converge.
Se a denominatore avevi semplicemente la radice allora la condizione necessaria era soddisfatta.