Come risolvere le Serie di funzioni.
$sum_{n=1}^\infty e^x/(n(n+e^x)) $
Davanti a questa serie la prima cosa che si fa e vedere dove è la puntuale
la serie converge puntualmente In $RR$
vado alla ricerca della uniforme il test in -infty , + infty non va
mi restringo in un internvallo [-h,h] e lo faccio li e la serie dei sup mi viene convergente $sum_{n=1}^\infty e^h/(n^2) $
ma per [h,+infinty] [h,-infinty] cosa si fa ???
grazie e buona giornata
Davanti a questa serie la prima cosa che si fa e vedere dove è la puntuale
la serie converge puntualmente In $RR$
vado alla ricerca della uniforme il test in -infty , + infty non va
mi restringo in un internvallo [-h,h] e lo faccio li e la serie dei sup mi viene convergente $sum_{n=1}^\infty e^h/(n^2) $
ma per [h,+infinty] [h,-infinty] cosa si fa ???
grazie e buona giornata
Risposte
Non è chiarissimo come si procede in questo caso, il problema è mandando x all'infinito.
perchè se fai:
$lim_{x \to +oo} \sum_{n=1}^{+oo}(e^x)/(n(n+e^x)) = 0$
invece
$ \sum_{n=1}^{+oo} lim_{x \to +oo}(e^x)/(n(n+e^x)) = +oo$
Per cui la funzione converge uniformemente su $x=(-oo,a], \ \ \ a \in RR$, escludendo $+oo$.
A più infinito, non saprei.
perchè se fai:
$lim_{x \to +oo} \sum_{n=1}^{+oo}(e^x)/(n(n+e^x)) = 0$
invece
$ \sum_{n=1}^{+oo} lim_{x \to +oo}(e^x)/(n(n+e^x)) = +oo$
Per cui la funzione converge uniformemente su $x=(-oo,a], \ \ \ a \in RR$, escludendo $+oo$.
A più infinito, non saprei.
@Quinzio: Secondo me la tua risposta è un po' fuorviante. Poi ne parliamo (se vuoi), intanto vediamo di chiarire le idee a Heaviside.
@Heaviside: Non è fatto bene questo esercizio. Impegnati di più. Va bene la convergenza puntuale, ma studia meglio la funzione
\[\frac{e^x}{n(n+e^x)}.\]
Guarda il grafico (per \(n=2\)):
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=0; ymax=0.5; axes("label"); plot("exp(x)/(2*(2+exp(x)))");[/asvg]
Da qua capisci (perché?) che la serie converge totalmente in \((-\infty, a]\) per ogni \(a \in \mathbb{R}\).
Resta da chiarire se la convergenza sia uniforme in tutto \(\mathbb{R}\). Con le serie di funzioni è spesso più difficile rispondere a questa domanda di quanto non lo sia per le successioni di funzioni, quindi anche se lasci l'esercizio così secondo me sta bene.
@Heaviside: Non è fatto bene questo esercizio. Impegnati di più. Va bene la convergenza puntuale, ma studia meglio la funzione
\[\frac{e^x}{n(n+e^x)}.\]
Guarda il grafico (per \(n=2\)):
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=0; ymax=0.5; axes("label"); plot("exp(x)/(2*(2+exp(x)))");[/asvg]
Da qua capisci (perché?) che la serie converge totalmente in \((-\infty, a]\) per ogni \(a \in \mathbb{R}\).
Resta da chiarire se la convergenza sia uniforme in tutto \(\mathbb{R}\). Con le serie di funzioni è spesso più difficile rispondere a questa domanda di quanto non lo sia per le successioni di funzioni, quindi anche se lasci l'esercizio così secondo me sta bene.
"dissonance":
@Quinzio: Secondo me la tua risposta è un po' fuorviante. Poi ne parliamo (se vuoi), intanto vediamo di chiarire le idee a Heaviside.
volentieri.Però è vero. Se fai prima il limite, il risultato cambia.
Forse questo è un "limite" dei limiti. Quando mandi contemporaneamente a $+oo$ due variabili è una forma indeterminata.
Bellino quel pdf! Lì c'è la risposta alla domanda di Quinzio sullo scambio di limite e simbolo di serie.
@Quinzio: La tua osservazione dimostra che la serie in oggetto non converge uniformemente in alcun intorno di \(+\infty\). Solo che non è chiaro come tu abbia calcolato il primo dei due limiti.
@Quinzio: La tua osservazione dimostra che la serie in oggetto non converge uniformemente in alcun intorno di \(+\infty\). Solo che non è chiaro come tu abbia calcolato il primo dei due limiti.
Resta da chiarire se la convergenza sia uniforme in tutto \(\mathbb{R}\). Con le serie di funzioni è spesso più difficile rispondere a questa domanda di quanto non lo sia per le successioni di funzioni, quindi anche se lasci l'esercizio così secondo me sta bene.
la convergenza è uniforme in [-infinity , h]
è non lo è in ]h,+inifity] per verificare ciò basta ragionare per assurdo supponendo che ci sia conv uniforme si può scrivere la condizione di Caushy per le serie ed arrivare all assurdo
grazie per aiuto
una domanda quanado ho una serie a segni alterni e trovo l 'assoluta convergenze
la totale la devo cercare dentro l'intervallo di conv assoluta ?
???
Non credo, Heaviside. Secondo me il tuo ragionamento è sbagliato. Scrivi bene questa storia del criterio di Cauchy.
Non credo, Heaviside. Secondo me il tuo ragionamento è sbagliato. Scrivi bene questa storia del criterio di Cauchy.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo