Come risolvere le Equazioni Differenziali
Risolvere le seguenti equazioni differenziali (scrivere le formule e ove necessario, calcolare gli
integrali di funzioni elementari):
$y'' + 6y' + 13y = 0$
vorrei che mi aiutaste con le equazioni differenziali, non avendole mai fatte vorrei sapere come si procede.
grazie
integrali di funzioni elementari):
$y'' + 6y' + 13y = 0$
vorrei che mi aiutaste con le equazioni differenziali, non avendole mai fatte vorrei sapere come si procede.
grazie
Risposte
allora :
devi scrivere il polinomio caratteristico e calcolarti le soluzioni...
che in questo caso è pari a:
$\lambda^2+6\lambda+13=0$
e ora lo devi svolgere come una equazione di secondo grado...
calcola le soluzioni e fammi sapere e dopo continuiamo..
devi scrivere il polinomio caratteristico e calcolarti le soluzioni...
che in questo caso è pari a:
$\lambda^2+6\lambda+13=0$
e ora lo devi svolgere come una equazione di secondo grado...
calcola le soluzioni e fammi sapere e dopo continuiamo..
Completo quello già detto da qwert90. Il polinomio caratteristico è il risultato dell'applicazione di una soluzione di prova ben precisa, alle equazioni differenziali lineari OMOGENEE. Per omogenee intendo dire che mancano termini noti ( ovvero termini in $x$, indipendenti dalla variabile funzione ).
Tale soluzione di prova è $e^(\lambdax)$. Derivalo una e due volte, e poi sostituisci le derivate nell'equazione originale. A questo punto per essere $e^(\lambdax)$ soluzione dell'eq differenziale, andando a sostituire dev'essere Il primo membro uguale al secondo ( che è nullo ), quindi la tua equazione, mettndo in evidenza $e^(\lambdax)$ si riduce ad un polinomio dello stesso grado dell'ordine dell'equazione differenziale.
Trovati i valori di $\lambda$ per cui tale eqauzione è soddisfatta, beh in pratica hai già finito ( visto che questa è un'eq omogenea ). La tua soluzione sarà:
$\varphi(x) = c_1 e^(\lambda_1x) + c_2 e^(\lambda_2x)$ con $\lambda_1$ e $\lambda_2$ soluzione dell'equazione di cui sopra.
Tale soluzione di prova è $e^(\lambdax)$. Derivalo una e due volte, e poi sostituisci le derivate nell'equazione originale. A questo punto per essere $e^(\lambdax)$ soluzione dell'eq differenziale, andando a sostituire dev'essere Il primo membro uguale al secondo ( che è nullo ), quindi la tua equazione, mettndo in evidenza $e^(\lambdax)$ si riduce ad un polinomio dello stesso grado dell'ordine dell'equazione differenziale.
Trovati i valori di $\lambda$ per cui tale eqauzione è soddisfatta, beh in pratica hai già finito ( visto che questa è un'eq omogenea ). La tua soluzione sarà:
$\varphi(x) = c_1 e^(\lambda_1x) + c_2 e^(\lambda_2x)$ con $\lambda_1$ e $\lambda_2$ soluzione dell'equazione di cui sopra.
@BHK: Tanto tempo fa, quando ero uno studente, esistevano degli oggetti che contenevano tutte queste informazioni; erano rettangolari, con fogli di carta minuziosamente scritti avvolti in un involucro di cartoncino: li chiamavamo libri.
A quanto vedo oggi non si usano più.
Insomma, per farla breve, basta prendere un qualsiasi libro di Analisi II per trovare ciò che ti serve.
A quanto vedo oggi non si usano più.
Insomma, per farla breve, basta prendere un qualsiasi libro di Analisi II per trovare ciò che ti serve.
"gugo82":
@BHK: Tanto tempo fa, quando ero uno studente, esistevano degli oggetti che contenevano tutte queste informazioni; erano rettangolari, con fogli di carta minuziosamente scritti avvolti in un involucro di cartoncino: li chiamavamo libri.
ahahahaha
La tua firma gugo... la tua firma!
se posso consigliare un testo adattissimo per le equazioni differenziali ti consigilio il libro di Fiorenza-Esposito (Liguori editore) intitolato "Integrazione e equazioni differenziali" (piu o meno è questo il titolo)
è perfetto per risolvere le equazioni differenziali
è perfetto per risolvere le equazioni differenziali
allora se ho capito bene ci sono più tipologie di equazioni quelle che mi interessano sono quelle lineari di primo ordine e quelle omogenee.
le prime si risolvono applicando la formula con il fattore integrante
partendo da una astratta $y'(x)+y(x)a(x)=f(x)$
moltiplico per il fattore integrante: $e^(A(x))$ $A(x)=int_()^()a(x)$
ottenendo $e^(A(x))*y'(x)+e^(A(x))*y(x)a(x)=e^(A(x))*f(x)dx$
la prima parte dell'equazione è uguale alla derivata di $e^(A(x))*y(x)$
integrando si ha $e^(A(x))*y(x)=int_()^()e^(A(x))*f(x))dx$;
$y(x)=e^(-A(x))*int_()^()e^(A(x))*f(x)dx$
tornando invece a quella che ho postato, non ha soluzioni reali,
$\lambda_1=3-2i;\lambda_2=3+2i$
è possibile risolvere le eq. omogenee ricollegandosi alla procedura di quelle lineari di primo ordine?
le prime si risolvono applicando la formula con il fattore integrante
partendo da una astratta $y'(x)+y(x)a(x)=f(x)$
moltiplico per il fattore integrante: $e^(A(x))$ $A(x)=int_()^()a(x)$
ottenendo $e^(A(x))*y'(x)+e^(A(x))*y(x)a(x)=e^(A(x))*f(x)dx$
la prima parte dell'equazione è uguale alla derivata di $e^(A(x))*y(x)$
integrando si ha $e^(A(x))*y(x)=int_()^()e^(A(x))*f(x))dx$;
$y(x)=e^(-A(x))*int_()^()e^(A(x))*f(x)dx$
tornando invece a quella che ho postato, non ha soluzioni reali,
$\lambda_1=3-2i;\lambda_2=3+2i$
è possibile risolvere le eq. omogenee ricollegandosi alla procedura di quelle lineari di primo ordine?
up
[xdom="gugo82"]Dato il numero di post, sai benissimo che non si può uppare per almeno 24 ore (cfr. regolamento, 3.4).
Blocco per un giorno.[/xdom]
Inoltre rinnovo l'invito a visionare un libro di Analisi II o i millemila post scritti da me e da altri sulle EDO del second'ordine.
[xdom="gugo82"]Riaperto, anche se con un po' di ritardo (mi scuso con BHK).
Buon proseguimento.[/xdom]
Blocco per un giorno.[/xdom]
Inoltre rinnovo l'invito a visionare un libro di Analisi II o i millemila post scritti da me e da altri sulle EDO del second'ordine.
[xdom="gugo82"]Riaperto, anche se con un po' di ritardo (mi scuso con BHK).
Buon proseguimento.[/xdom]
ricapitolo l'algoritmo per il calcolo delle equazioni differenziali omogenee di secondo ordine,
data un euqazione in questa forma
$y''(x)+ay'(x)+by(x)=0;$ con a,b coefficenti costanti.
1)calcolo il polinomio caratteristico sostituendo il grado di derivazione con l'esponente
$z^2+az+b=0$
2)risolvo il sistema
se $Delta>0$ ho due soluzioni da cui $y(x)=c_1*e^(alphax)+c_2*e^(betax)$
se $Delta=0$ ho due soluzioni coincidenti $y(x)=c_1*e^(alphax)+xc_2*e^(alphax)$
se $Delta<0$ due soluzioni complesse coniugate cioè $alpha+ibeta$ e $alpha-ibeta$ da cui $y(x)=e^(alphax)*e^(ibetax)$
è un algoritmo corretto?
data un euqazione in questa forma
$y''(x)+ay'(x)+by(x)=0;$ con a,b coefficenti costanti.
1)calcolo il polinomio caratteristico sostituendo il grado di derivazione con l'esponente
$z^2+az+b=0$
2)risolvo il sistema
se $Delta>0$ ho due soluzioni da cui $y(x)=c_1*e^(alphax)+c_2*e^(betax)$
se $Delta=0$ ho due soluzioni coincidenti $y(x)=c_1*e^(alphax)+xc_2*e^(alphax)$
se $Delta<0$ due soluzioni complesse coniugate cioè $alpha+ibeta$ e $alpha-ibeta$ da cui $y(x)=e^(alphax)*e^(ibetax)$
è un algoritmo corretto?
tutto corretto...
però se il delta è minore di zero la soluzione $y$ è uguale a :
$e^(\alphax)(cos\betax+sen\betax)$
correggetemi se sbaglio..
però se il delta è minore di zero la soluzione $y$ è uguale a :
$e^(\alphax)(cos\betax+sen\betax)$
correggetemi se sbaglio..
è identico: $e^(thetaix)=sin(thetax)+icos(thetax)$ se non ricordo male.
Provo ad applicare l'algortimo con un esercizio:
$y''-4y'+13=0$
$z^2-4z+13=0$
con soluzioni $2+-i3$
quindi $y(x)=e^(2x)*sin(3x)+cos(3x)$
ho qualche dubbio sull'ultimo passaggio.
Provo ad applicare l'algortimo con un esercizio:
$y''-4y'+13=0$
$z^2-4z+13=0$
con soluzioni $2+-i3$
quindi $y(x)=e^(2x)*sin(3x)+cos(3x)$
ho qualche dubbio sull'ultimo passaggio.
no dovrebbe essere corretto..
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