Come riconoscere e ridurre a forma canonica una conica.
Salve a tutti. Come da titolo, vorrei sapere il metodo per riconoscere una conica e ridurla a forma canonica. Purtroppo c ho capito ben poco dal libro e girando su internet non sono riuscito comunque a chiarirmi le idee. Ho visto che un metodo per riconoscere una conica è quello di studiare il segno del prodotto degli autovalori della matrice rappresentante la forma quadratica della conica in questione. Altri studiano il segno degli invarianti ortogonali. Per la riduzione a forma canonica le cose si complicano ancora di più!! L unico metodo che sono riuscito ad applicare, ma che mi sembra troppo complicato e laborioso, è quello di applicare una sorta di rototraslazione del sistema di riferimento, cambiando gli assi di riferimento prima attraverso una rotazione ottenuta tramite una matrice di rotazione costituita dagli autovettori della matrice rappresentante la forma quadratica della conica. In seguito tramite il completamento del quadrato della nuova equazione della conica ottenuta, si effettua una traslazione che in conclusione da l equazione canonica della conica. Il metodo funziona, ma mi sembra decisamente troppo laborioso e perciò credo sia sbagliato usarlo. Insomma ho un bel po di confusione. Qualcuno potrebbe darmi una mano?? Grazi a tutti in anticipo.
Aggiunto 1 ore 31 minuti più tardi:
Certo posso aspettare ;). Magari se invece di domenica riesci a fare domani te ne sarei molto grato, ma senò va bene lo stesso.
Aggiunto 20 ore 17 minuti più tardi:
Ah ok allora va bene così. Il fatto è che per alcuni esercizi mi sembrava davvero difficile applicare tutto quel procedimento per trovare la forma canonica. Ad esempio prendendo un esercizio tipo questo:
x2+3xy-y2+x+y-1=0.
Non riesco proprio a trovarmi soprattutto perchè arrivo ad un certo punto a numeri strani e zeppi di radicali, che credo siano sbagliati. Inoltre volevo farti qualche altra domanda riguardo l argomento delle coniche. Potresti dirmi quali sono le condizioni da studiare per trovare eventuali fuochi ed assi di una conica?? Ad esempio per trovare il centro di una conica sò che bisogna risolvere il sistema Ax+h=0 dove A è la matrice rappresenatate la forma quadratica della conica, ed h è il vettore dei coefficienti dei termini in x ed y della conica ( nel caso dell esempio il vettore h=(1/2,1/2)). Allo stesso modo come faccio a trovare fuochi ed assi??
Aggiunto 2 ore 39 minuti più tardi:
Ok va benissimo, grazie mille. Se hai tempo dai anche un occhiata a quest altro metodo che ho trovato per ridurre una conica:
http://it.wikipedia.org/wiki/Rappresentazione_matriciale_delle_coniche
Sembrerebbe molto più semplificativo, ma l ho provato e non sono sicuro che funzioni.
Aggiunto 15 minuti più tardi:
okok grazie mille!!!
Aggiunto 21 ore 58 minuti più tardi:
Non ho parole....grazie mille!!! Davvero ottimo ed esaustivo. Solo una piccola cosa non mi è chiara. Confrontando ciò che mi hai spiegato con alcuni esercizi, c è qualcosa che non mi torno. Faccio un esempio. Data la conica:
In questo caso se calcolo gli autovalori della forma quadratica associato, mi escono entrambi positivi essendo la matrice della forma quadratica la seguente:
i cui autovalori sono 1 e 3. La conica è tuttavia un ellisse, ma dallos chema che mi hai fatto tu, per essere un ellisse entrambe gli autovalori dovrebbero essere negativi. Dov è che sbaglio?? Io avevo anche letto che per essere un ellisse il prodotto degli autovalori deve essermaggiore di 0. In questo caso si avrebbe un ellisse sia se gli autovalori sono entrambe negativi sia se sono entrambe positivi. E' giusta tale conclusione??
Avrei anche un altra domanda: come faccio a trovare assi e asintoti di un iperbole??
Aggiunto 1 ore 36 minuti più tardi:
OK perfetto si trova tutto !!! Per la questione di asintoti assi dell iperbole potresti darmi una mano??
Aggiunto 1 ore 31 minuti più tardi:
Certo posso aspettare ;). Magari se invece di domenica riesci a fare domani te ne sarei molto grato, ma senò va bene lo stesso.
Aggiunto 20 ore 17 minuti più tardi:
Ah ok allora va bene così. Il fatto è che per alcuni esercizi mi sembrava davvero difficile applicare tutto quel procedimento per trovare la forma canonica. Ad esempio prendendo un esercizio tipo questo:
x2+3xy-y2+x+y-1=0.
Non riesco proprio a trovarmi soprattutto perchè arrivo ad un certo punto a numeri strani e zeppi di radicali, che credo siano sbagliati. Inoltre volevo farti qualche altra domanda riguardo l argomento delle coniche. Potresti dirmi quali sono le condizioni da studiare per trovare eventuali fuochi ed assi di una conica?? Ad esempio per trovare il centro di una conica sò che bisogna risolvere il sistema Ax+h=0 dove A è la matrice rappresenatate la forma quadratica della conica, ed h è il vettore dei coefficienti dei termini in x ed y della conica ( nel caso dell esempio il vettore h=(1/2,1/2)). Allo stesso modo come faccio a trovare fuochi ed assi??
Aggiunto 2 ore 39 minuti più tardi:
Ok va benissimo, grazie mille. Se hai tempo dai anche un occhiata a quest altro metodo che ho trovato per ridurre una conica:
http://it.wikipedia.org/wiki/Rappresentazione_matriciale_delle_coniche
Sembrerebbe molto più semplificativo, ma l ho provato e non sono sicuro che funzioni.
Aggiunto 15 minuti più tardi:
okok grazie mille!!!
Aggiunto 21 ore 58 minuti più tardi:
Non ho parole....grazie mille!!! Davvero ottimo ed esaustivo. Solo una piccola cosa non mi è chiara. Confrontando ciò che mi hai spiegato con alcuni esercizi, c è qualcosa che non mi torno. Faccio un esempio. Data la conica:
[math] x^2+3y^2-4x+6y+1=0 [/math]
In questo caso se calcolo gli autovalori della forma quadratica associato, mi escono entrambi positivi essendo la matrice della forma quadratica la seguente:
[math]\begin{bmatrix} 1&0\\0&3 \end{bmatrix}[/math]
i cui autovalori sono 1 e 3. La conica è tuttavia un ellisse, ma dallos chema che mi hai fatto tu, per essere un ellisse entrambe gli autovalori dovrebbero essere negativi. Dov è che sbaglio?? Io avevo anche letto che per essere un ellisse il prodotto degli autovalori deve essermaggiore di 0. In questo caso si avrebbe un ellisse sia se gli autovalori sono entrambe negativi sia se sono entrambe positivi. E' giusta tale conclusione??
Avrei anche un altra domanda: come faccio a trovare assi e asintoti di un iperbole??
Aggiunto 1 ore 36 minuti più tardi:
OK perfetto si trova tutto !!! Per la questione di asintoti assi dell iperbole potresti darmi una mano??
Risposte
Guarda, è un po' lungo e al momento non ho tempo per scrivertelo. Se aspetti fino a domenica, ti spiego.
Aggiunto 16 ore 42 minuti più tardi:
Allora, una nota a quello che hai scritto: a te il metodo sembrerà laborioso, ma è quello che si usa! Quindi, se ti è chiaro, evito di scriverti altro.
Aggiunto 4 ore 46 minuti più tardi:
Senti, facciamo così, io ti scrivo tutto, e poi ne discutiamo con calma.
Aggiunto 1 ore 53 minuti più tardi:
Io era proprio quello che volevo scriverti. Mi ci metto più tardi e cerco di finirtelo in serata, o al max domani. Poi ne parliamo.
Aggiunto 2 ore 31 minuti più tardi:
Allora, cominciamo: una conica è il luogo dei punti che soddisfano una equazione di secondo grado della forma
Tale equazione può sempre essere posta nella seguente forma matriciale:
(lo vedi subito facendo i prodotti tra matrici). Posto
e
la precedente equazione diventa
dove con
Per studiare una conica e determinarne la forma canonica, allora, si può operare sulla matrice
Continua.....
Aggiunto 15 ore 53 minuti più tardi:
Continuiamo...
Per prima cosa, diamo alcune definizioni: detta
il minore principale. Ovviamente si ha pure che
il vettore dei coefficienti di primo grado della conica e poniamo
e l'equazione della conica diventa
Enuncio ora (senza dimostrarli) alcuni teoremi relativi agli autovalori delle matrici simmetriche e alla loro diagonalizzazione: essi risultano fondamentali per ridurre a forma canonica le coniche euclide.
Teorema 1 Una matrice simmetrica ammette solo autovalori reali
Indicato con
l'insieme delle matrici ortogonali (quelle la cui inversa coincide con la trasposta) abbiamo il seguente
Teorema 2 (Teorema spettrale): Per ogni matrice simmetrica
risulta diagonale (e i valori sulla diagonale coincidono con gli autovalori della matrice
Continua...
Aggiunto 2 ore 6 minuti più tardi:
A questo punto possiamo enunciare il
Teorema di classificazione delle coniche Euclidee
Ogni conica
DIMOSTRAZIONE: La dimostrazione del teorema illustra anche il metodo in cui si procede per ridurre una conica a forma canonica. Indichiamo l'equazione della conica come
con matrice dei coefficienti e minore principale
Passo 1: Eliminazione del termine
Consideriamo il minore
Detta allora
che risulta ortogonale (e quindi
e la nuova matrice dei coefficienti
e quindi
per cui la conica assume la nuova forma
Passo 2: Eliminazione del termine noto e di quelli di primo grado
A seconda del valore degli autovalori, si operano differenti traslazioni.
Caso 1:
Operiamo la seguente traslazione
Sostituendo nell'equazione per
dove
Se allora
e quindi ci ritroviamo le equazioni
Aggiunto 16 ore 42 minuti più tardi:
Allora, una nota a quello che hai scritto: a te il metodo sembrerà laborioso, ma è quello che si usa! Quindi, se ti è chiaro, evito di scriverti altro.
Aggiunto 4 ore 46 minuti più tardi:
Senti, facciamo così, io ti scrivo tutto, e poi ne discutiamo con calma.
Aggiunto 1 ore 53 minuti più tardi:
Io era proprio quello che volevo scriverti. Mi ci metto più tardi e cerco di finirtelo in serata, o al max domani. Poi ne parliamo.
Aggiunto 2 ore 31 minuti più tardi:
Allora, cominciamo: una conica è il luogo dei punti che soddisfano una equazione di secondo grado della forma
[math]a_{11} x_1^2+a_{22} x_2^2+2a_{12} x_1 x_2+2a_{01} x_1+2a_{02} x_2+a_{00}=0[/math]
Tale equazione può sempre essere posta nella seguente forma matriciale:
[math](1\ x_1\ x_2)\ \left(\begin{array}{ccc}
a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ & & \\ a_{01} & a_{11} & a_{12} \\ & & \\ a_{02} & a_{12} & a_{22}
\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{c} 1 \\ \\ x_1 \\ \\ x_2\end{array}\right)=0[/math]
a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ & & \\ a_{01} & a_{11} & a_{12} \\ & & \\ a_{02} & a_{12} & a_{22}
\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{c} 1 \\ \\ x_1 \\ \\ x_2\end{array}\right)=0[/math]
(lo vedi subito facendo i prodotti tra matrici). Posto
[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ & & \\ a_{01} & a_{11} & a_{12} \\ & & \\ a_{02} & a_{12} & a_{22}
\end{array}\right)[/math]
a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ & & \\ a_{01} & a_{11} & a_{12} \\ & & \\ a_{02} & a_{12} & a_{22}
\end{array}\right)[/math]
e
[math]X=\left(\begin{array}{c} 1 \\ \\ x_1 \\ \\ x_2\end{array}\right)[/math]
la precedente equazione diventa
[math]X^t A X=0[/math]
dove con
[math]t[/math]
indico la trasposta di una matrice. Osserva che, per come è stata definita, la matrice [math]A[/math]
è simmetrica, i.e. [math]A^t=A[/math]
.Per studiare una conica e determinarne la forma canonica, allora, si può operare sulla matrice
[math]A[/math]
trasformandola opportunamente in modo da ottenere una delle 9 forme canoniche note. Di seguito enuncio il Teorema di Classificazione delle Coniche Euclidee (suppongo ti serva solo questo e che tu non ti interessi né di coniche affini né di coniche proiettive) e ti do la sua dimostrazione. Essa, sostanzialmente, consiste nel metodo stesso di riduzione a forma canonica e quindi ciò che ti serve per lavorare con tali ogetti.Continua.....
Aggiunto 15 ore 53 minuti più tardi:
Continuiamo...
Per prima cosa, diamo alcune definizioni: detta
[math]A[/math]
la matrice dei coefficienti di una conica, chiamiamo[math]A_0=\left(\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\ & \\ a_{12} & a_{22}
\end{array}\right)[/math]
a_{11} & a_{12} \\ & \\ a_{12} & a_{22}
\end{array}\right)[/math]
il minore principale. Ovviamente si ha pure che
[math]A_0[/math]
è simmetrica (i.e. [math]A_0^t=A_0[/math]
). Indichiamo poi con [math]a=(a_{01}\ a_{02})[/math]
il vettore dei coefficienti di primo grado della conica e poniamo
[math]X_0=(x_1\ x_2)^t[/math]
il vettore delle incognite. Allora si ha [math]X=\left(\begin{array}{c}1\\ \\ X_0\end{array}\right)[/math]
e[math]A=\left(\begin{array}{cc}
a_{00} & a \\ & \\ a^t & A_0
\end{array}\right)[/math]
a_{00} & a \\ & \\ a^t & A_0
\end{array}\right)[/math]
e l'equazione della conica diventa
[math](1\ X_0^t)\ \left(\begin{array}{cc}
a_{00} & a \\ & \\ a^t & A_0
\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{c}1\\ \\ X_0\end{array}\right)=0[/math]
.a_{00} & a \\ & \\ a^t & A_0
\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{c}1\\ \\ X_0\end{array}\right)=0[/math]
Enuncio ora (senza dimostrarli) alcuni teoremi relativi agli autovalori delle matrici simmetriche e alla loro diagonalizzazione: essi risultano fondamentali per ridurre a forma canonica le coniche euclide.
Teorema 1 Una matrice simmetrica ammette solo autovalori reali
Indicato con
[math]\mathcal{M}_n[/math]
l'insieme di tutte le matrici quadrate di ordine [math]n[/math]
e con [math]O_n=\left\{ M\in\mathcal{M}\ :\ M^{-1}=M^t\right\}[/math]
l'insieme delle matrici ortogonali (quelle la cui inversa coincide con la trasposta) abbiamo il seguente
Teorema 2 (Teorema spettrale): Per ogni matrice simmetrica
[math]A[/math]
esiste una matrice ortogonale [math]M[/math]
tale che la matrice coniugata[math]\tilde{A}=M^{-1} A M=M^t A M[/math]
risulta diagonale (e i valori sulla diagonale coincidono con gli autovalori della matrice
[math]A[/math]
.Continua...
Aggiunto 2 ore 6 minuti più tardi:
A questo punto possiamo enunciare il
Teorema di classificazione delle coniche Euclidee
Ogni conica
[math]\mathcal{C}\in\mathbb{E}^2[/math]
è equivalente ad una delle seguenti[math]\mathcal{C}_1[/math]
ellisse [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad (a\geq b>0)[/math]
;[math]\mathcal{C}_2[/math]
ellisse a punti non reali [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1,\qquad (a\geq b>0)[/math]
;[math]\mathcal{C}_3[/math]
ellisse degenere [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0,\qquad (a\geq b>0)[/math]
;[math]\mathcal{C}_4[/math]
iperbole [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad (a>0,\ b>0)[/math]
;[math]\mathcal{C}_5[/math]
iperbole degenre [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0,\qquad (a>0,\ b>0)[/math]
;[math]\mathcal{C}_6[/math]
parabola [math]y-2px=0,\qquad (p>0)[/math]
;[math]\mathcal{C}_7[/math]
parabola degenere reale (coppia di rette parallele) [math]y^2-a^2=0,\qquad (a>0)[/math]
;[math]\mathcal{C}_8[/math]
parabola degenere immaginaria [math]y^2+a^2=0,\qquad (a>0)[/math]
;[math]\mathcal{C}_9[/math]
conica doppiamente degenere (coppia di rette coincidenti) [math]y^2=0[/math]
.DIMOSTRAZIONE: La dimostrazione del teorema illustra anche il metodo in cui si procede per ridurre una conica a forma canonica. Indichiamo l'equazione della conica come
[math]\mathcal{C}:\qquad a_{11} x^2+a_{22} y^2+2a_{12} xy+2a_{01} x+2a_{02} y+a_{00}=0[/math]
con matrice dei coefficienti e minore principale
[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ & & \\ a_{01} & a_{11} & a_{12}\\ & & \\ a_{02} & a_{12} & a_{22}\end{array}\right)\qquad \qquad\qquad A_0=\left(\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12}\\ & \\ a_{12} & a_{22}\end{array}\right)[/math]
.a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ & & \\ a_{01} & a_{11} & a_{12}\\ & & \\ a_{02} & a_{12} & a_{22}\end{array}\right)\qquad \qquad\qquad A_0=\left(\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12}\\ & \\ a_{12} & a_{22}\end{array}\right)[/math]
Passo 1: Eliminazione del termine
[math]xy[/math]
Consideriamo il minore
[math]A_0[/math]
: essendo una matrice simmetrica, i suoi autovalori [math]\lambda_1,\ \lambda_2[/math]
sono reali ed esite una matrice [math]M\in O_n[/math]
tale che la matrice coniugata risulti[math]\tilde{A}_0=M^t A_0 M=\left(\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0\\ & \\ 0 & \lambda_2\end{array}\right)[/math]
.\lambda_1 & 0\\ & \\ 0 & \lambda_2\end{array}\right)[/math]
Detta allora
[math]R=\left(\begin{array}{cc}
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M^t\end{array}\right)[/math]
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M^t\end{array}\right)[/math]
che risulta ortogonale (e quindi
[math]R^t R=I_3[/math]
la matrice identica di ordine 3), dove [math]\mathbf{0}=(0\ 0)[/math]
è il vettore nullo, si ha il cambiamento di coordinate [math]X'=RX[/math]
da cui[math]0=X^t A X=(R^t R X)^t A (R^t R X)=(RX)^t R A R^t (RX)=(X')^t(RAR^t) X'[/math]
e la nuova matrice dei coefficienti
[math]\tilde{A}=R A R^t=\left(\begin{array}{cc}
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M^t\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{cc}
a_{00} & a\\ & \\ a^t & A_0\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{cc}
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M\end{array}\right)=\\
\left(\begin{array}{cc}
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M^t\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{cc}
a_{00} & aM\\ & \\ a^t & A_0 M\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
a_{00} & aM\\ & \\ M^t a^t & M^t A_0 M\end{array}\right)[/math]
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M^t\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{cc}
a_{00} & a\\ & \\ a^t & A_0\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{cc}
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M\end{array}\right)=\\
\left(\begin{array}{cc}
1 & \mathbf{0}\\ & \\ \mathbf{0}^t & M^t\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{cc}
a_{00} & aM\\ & \\ a^t & A_0 M\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
a_{00} & aM\\ & \\ M^t a^t & M^t A_0 M\end{array}\right)[/math]
e quindi
[math]\tilde{A}=\left(\begin{array}{cc}
a_{00} & aM\\ & \\ (aM)^t & \tilde{A}_0\end{array}\right)[/math]
a_{00} & aM\\ & \\ (aM)^t & \tilde{A}_0\end{array}\right)[/math]
per cui la conica assume la nuova forma
[math]\mathcal{C}':\qquad \qquad \lambda_1 x'^2+\lambda_2 y'^2+2a_{01}' x'+2a_{02} y'+a_{00}=0[/math]
Passo 2: Eliminazione del termine noto e di quelli di primo grado
A seconda del valore degli autovalori, si operano differenti traslazioni.
Caso 1:
[math]\lambda_1\lambda_2\neq 0[/math]
Operiamo la seguente traslazione
[math]T_1:\qquad \qquad \left(\begin{array}{c} x' \\ y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x'' \\ y''\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} -a_{01}'/\lambda_1 \\ -a_{02}'/\lambda_2\end{array}\right)[/math]
Sostituendo nell'equazione per
[math]\mathcal{C}'[/math]
si ottiene la nuova equazione[math]\mathcal{C}'':\qquad\qquad \lambda_1 x''^2+\lambda_2 y''^2+c_{00}=0[/math]
dove
[math]c_{00}=a_{00}-\frac{a_{01}'^2}{\lambda_1}-\frac{a_{02}'^2}{\lambda_2}[/math]
.Se allora
[math]c_{00}>0[/math]
, dividendo per [math]-c_{00}[/math]
otteniamo[math]\mathcal{C}'':\qquad\qquad \frac{x''^2}{-c_{00}/\lambda_1}+\frac{y''^2}{-c_{00}/\lambda_2}=1[/math]
e quindi ci ritroviamo le equazioni
[math]\mathcal{C}_1[/math]
se e solo se [math]\lambda_1,\ \lambda_2 0[/math]
[math]\mathcal{C}_4[/math]
se e solo se [math]\lambda_1\lambda_2
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo