Come ricavo x in funzione di y? [y= cos(x) + x*sin(x)]

[ste251]

Come ricavo x in funzione di y?

y= cos(x) + x*sin(x)

Grazie a tutti

[MaMo2]

Non credo sia possibile.

[pic2]

No perché non è iniettiva.

[ste251]

Grazie, peccato.. sapresti anche dirmi perchè?

Grazie ancora

[ste251]

Scusate ho letto la seconda risposta dopo aver inviato la mia!
Anche sin(x) non è iniettiva, però è invertibile su un intervallo, qui non può succedere la stessa cosa?

Grazie

[Camillo]

Ma $sinx $ è funzione periodica e quindi scegleindo un intervallo opportuno $[-pi/2,pi/2]$ in cui assume tutti i valori che sono $[-1,1]$e ove sia monotona si può invertire , mentre la tua funzione non lo è a causa della presenxa di $x $ che moltiplica $sinx$.

[Studente Anonimo]

Ma ogni funzione ammette almeno una restrizione iniettiva. Il fatto e' che in questo caso vedo molto difficile trovare un'espressione analitica "umana" che esprima $x$ in funzione di $y$ (e' questo che si richiedeva?)

[Camillo]

"Martino":Ma ogni funzione ammette almeno una restrizione iniettiva. Il fatto e' che in questo caso vedo molto difficile trovare un'espressione analitica "umana" che esprima $x$ in funzione di $y$ (e' questo che si richiedeva?)

Giusto.
Ecco il grafico della funzione di cui trovare l'inversa.



Andrebbe suddivisa nei vari intervalli di monotonia(restrizione) e comunque l'espressione analitica "umana" penso sia introvabile.

[dissonance]

E se usassimo il teorema della funzione inversa? Infatti la nostra funzione $f$ è tranquillamente $C^1$ su tutto $RR$, perciò possiamo dire che per ogni punto $p$ t.c. $f'(p)!=0$ c'è un intorno di $p$ su cui $f$ è invertibile. E questo si sapeva. Forse però possiamo introdurre una novità osservando che, detta $g$ un'inversa locale ottenuta tramite il teorema di prima, questa funzione risulta essere $C^1$ e la sua derivata è data dalla formula $g'(f(x))=(f'(x))^(-1)$. Ora la derivata di $f$ è facilmente gestibile: $f'(x)=xcos\ x$. Da cui, per $x!=0, pi/2, 3/2pi, ...$, esiste un intorno di $x$ su cui la funzione $g$ inversa (locale) di $f$ verifica:
$g'(xcos\ x)=1/(xcos\ x)$
Ora la mia ideona geniale era provare a risolvere questa equazione differenziale per ottenere un'espressione analitica di $g$. Ma sarà possibile?

[adaBTTLS1]

io ho provato ad elevare al quadrato, a fare qualche altra "manipolazione algebrica", ma con scarsi risultati.
in funzione di $t=tg(x/2)$ qualcosa si ottiene, però dubito che sia utile. scrivo comunque il risultato... non si sa mai!
$x=2*arctg(t)=(t^2+1)/(2t)*y+(t^2-1)/(2t)$
ciao.