Come mai questa serie è irregolare?

[Rahzel]

Ciao a tutti, sto sbattendo il muso su questo esercizio:

"Data la seguente serie

$1-1+1/2+1/2-1/2-1/2+1/3+1/3+1/3-1/3-1/3-1/3+1/4+1/4+1/4+1/4-1/4-1/4-1/4-1/4...$

determinare se è convergente assolutamente, convergente ma non assolutamente, diverge negativamente o non è regolare."

stando a quel poco che ho capito io, il termine generale di questa serie dovrebbe essere

$sum_{n=1}^(infty) (sum_{k=1}^n 1/n + sum_{k=1}^n -1/n)$

(ma ho come l'impressione che sia scritta male... vero?)

E soprattutto, ha qualche utilità scrivere il termine generale per la risoluzione di questo esercizio?

Sbaglio o il termine generale è uguale a zero?
E per di più è una serie a termini positivi (poiché $a_n = 0$), giusto?

Secondo la soluzione è una serie irregolare, ma non riesco a capire che criterio devo applicare per giungere a questo risultato...

Mi sapreste dare qualche spunto? Grazie mille!

[Rigel1]

Indica con \(s_n := \sum_{k=1}^n a_k\) la somma parziale \(n\)-esima della serie.
Prova a scrivere esplicitamente \(s_n\) per \(n = 1,\ldots, 20\).

[gugo82]

Che non sia convergente assolutamente lo si vede subito.

Infatti riordinando gli addendi come mostrato sotto:
\[
(1-1) + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} -\frac{1}{2}\right)+ \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} -\frac{1}{3} -\frac{1}{3}\right) + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} +\frac{1}{4} - \frac{1}{4} -\frac{1}{4} -\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right) + \cdots
\]
si ottiene come somma \(0\), mentre riordinando come segue:
\[
1 +\left( -1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(- \frac{1}{2} -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \left(- \frac{1}{3} -\frac{1}{3} -\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} +\frac{1}{4}\right) +\left( - \frac{1}{4} -\frac{1}{4} -\frac{1}{4}-\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\right) + \cdots
\]
si ottiene come somma \(1\).
Dato che le serie assolutamente convergenti sono pure incondizionatamente convergenti (i.e., la loro somma non dipende da come si raggruppano gli addendi), la serie proposta non può essere assolutamente convergente.