Come impostare un integrale doppio

[cortex96]

Mi vengono tantissimi dubbi nell'impostazione degli integrali, soprattutto con i segni quando ci sono i moduli e/o domini simmetrici, ad esempio.
Calcolare l'integrale doppio $ int int_(D) x|y| dx dy $ con $ D=(x^2+y^2<1,x<0) U (|x|+|y|<1,x>0) $
L'integrale che ho impostato io è $ I=int_(-1)^(0)( int_(0)^(sqrt(1-x^2) ) xy dy )dx+int_(-1)^(0)( int_(-sqrt(1-x^2))^( 0) -xy dy )dx +int_(0)^(1)( int_(0)^(1-x) xy dy )dx +int_(0)^(1)( int_(-1+x)^(0)- xy dy )dx $
Questo, per simmetria, sarebbe $ I=2int_(-1)^(0)( int_(0)^(sqrt(1-x^2) ) xy dy )dx +2int_(0)^(1)( int_(0)^(1-x) xy dy )dx $ , con risultato finale -1/6.
Qualcuno può dirmi se è giusto?

[billyballo2123]

Errato
Ok la prima scomposizione, in cui dividi l'integrale in 4 integrali più semplici, ma poi la considerazione che fai sulla simmetria non è corretta!
Ad ogni modo nella parte $\{x^2+y^2<1, x<0\}$ ti conviene effettuare un cambio di coordinate e usare quelle polari!

[cortex96]

Ma devo scrivere $ int_(-1)^(0) $ oppure $ int_(0)^(-1) $ ?

[billyballo2123]

Mi correggo. Le tue considerazioni sulle simmetrie sono corrette. Però a me risulta che
\[
2\int_{-1}^0\bigg(\int_0^{\sqrt{1-x^2}}xydy\bigg)dx=\frac{1}{4},
\]
mentre
\[
2\int_0^1\bigg(\int_0^{1-x}xydy\bigg)dx=\frac{1}{12},
\]
dunque il risultato dovrebbe essere $1/3$.

[cortex96]

Si, dopo qualche correzione sono arrivato allo stesso risultato