Come impostare lo svolgimento di questo integrale triplo?
$\int_{V} \ (xyz+1) dx\dy\dz$ con V=$\{(1+z)^2<=(x^2 + y^2)<=(3-z)^2 , z>=0}$
Ragazzi sono alle prese con questo integrale triplo, e volevo chiedervi se è giusto il modo in cui l' ho impostato!
Io ho pensato di fare questo integrale per strati vedendo che ho un insieme in $\x$ e $\y$ che dipende da $\z$ , ovvero mettendo, $\x=rho costheta$ e $\y=rhosentheta$ da cui $\rho^2=(x^2 + y^2)$ , quindi $\(1+z)<=rho<=(3-z)$ con $\thetain[0, 2pi]$ , ma poi non ho ben capito come trovare gli estremi di integrazione di $\z$, ho pensato di fare così ma non so se sia giusto: visto che dalla disequazione dell' insieme ho $\{(1+z)^2<=(3-z)^2 , z>0}$ , mettendo $\(1+z)^2=(3-z)^2$ , trovo che $\z=1$, e quindi $\zin[0,1]$ , vale a dire:
$\int_{0}^{1} dz int_{0}^{2pi} dz int_{1+z}^{3-z} drho(zrho^2costhetasentheta+1)rho$
Chi mi può dare una mano? Non mi interessano i conti, ma volevo sapere soltanto come impostarlo e se in questa maniera va bene, il principale dubbio ovviamente lo ho sugli estremi di $\z$!
Rispondetemi per favore, vi ringrazio in anticipo, un saluto!
Ragazzi sono alle prese con questo integrale triplo, e volevo chiedervi se è giusto il modo in cui l' ho impostato!
Io ho pensato di fare questo integrale per strati vedendo che ho un insieme in $\x$ e $\y$ che dipende da $\z$ , ovvero mettendo, $\x=rho costheta$ e $\y=rhosentheta$ da cui $\rho^2=(x^2 + y^2)$ , quindi $\(1+z)<=rho<=(3-z)$ con $\thetain[0, 2pi]$ , ma poi non ho ben capito come trovare gli estremi di integrazione di $\z$, ho pensato di fare così ma non so se sia giusto: visto che dalla disequazione dell' insieme ho $\{(1+z)^2<=(3-z)^2 , z>0}$ , mettendo $\(1+z)^2=(3-z)^2$ , trovo che $\z=1$, e quindi $\zin[0,1]$ , vale a dire:
$\int_{0}^{1} dz int_{0}^{2pi} dz int_{1+z}^{3-z} drho(zrho^2costhetasentheta+1)rho$
Chi mi può dare una mano? Non mi interessano i conti, ma volevo sapere soltanto come impostarlo e se in questa maniera va bene, il principale dubbio ovviamente lo ho sugli estremi di $\z$!
Rispondetemi per favore, vi ringrazio in anticipo, un saluto!
Risposte
Up! Nessuno può darmi una risposta?
Si, gli estremi vanno bene.
E' una specie di toro a sezione triangolare.
E' una specie di toro a sezione triangolare.
Grazie mille Quinzio! Quindi il ragionamento che ho fatto per trovare l' altro estremo di $\z$ era corretto?
P.S. Ho postato l' esercizio di un altro integrale triplo, e non avendo i risultati chiedevo come in questo caso, se qualcuno potesse controllarmi lo svolgimento! Quindi se puoi e se ti va passa anche nell' altro post! Comunque grazie mille ancora!
P.S. Ho postato l' esercizio di un altro integrale triplo, e non avendo i risultati chiedevo come in questo caso, se qualcuno potesse controllarmi lo svolgimento! Quindi se puoi e se ti va passa anche nell' altro post! Comunque grazie mille ancora!
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