Come formalizzare che $log(n!)/logn->+infty$ ?

[dan89-votailprof]

Come formalizzo il fatto che

$\lim_{n \to \infty}log(n!)/logn=+infty $

Scusate la domanda sciocca

[dissonance]

[mod="dissonance"] Comincia col cambiare il titolo del post. "Come formalizzare che..." è troppo generico, metti qualcosa di più esplicativo.[/mod]
Per quanto riguarda la tua domanda la prima cosa che viene in mente è ricordarsi che $logn! =log(2*3*4*...*n)=log2+log3+...+logn$. Ma sicuramente ci saranno metodi più immediati ancora... Hai provato ad usare i teoremi di Cesaro (mi riferisco a quella specie di regola di l'Hopital per successioni).


[size=75]NB: ho corretto un piccolo problema di MathML, creato da "!". Fioravante Patrone[/size]

[dan89-votailprof]

Non conosco questo teorema di Cesaro...

A quello che hai scritto tu avevo già pensato, ma più chè riscriverlo come $(log(n-1)!)/logn +1$ non so....

[dissonance]

Su Wikipedia si parla del teorema a cui faccio riferimento.
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Stolz-Cesaro

Comunque fai prima a seguire un'altra strada. Passa all'esponenziale $e^((logn!)/(logn))=(n!)^(1/(logn))=[(n!)^(1/n)]^(n/(logn))$ e adesso sono tutti limiti notevoli: $(n!)^(1/n)\toinfty, n/(logn)\toinfty$. Fammi sapere se ti convince.

[dan89-votailprof]

Uhm si, ci siamo! Non era facilissima da vedere però

[dan89-votailprof]

Ah ma una cosa...cioè passo così all'esponenziale tranquillamente e arbitrariamente? Cioè quella che hai scritto tu mica è la successione di partenza, è un'altra successione *-*

[dissonance]

Certo, è un'altra successione. Ma non è difficile dimostrare che $e^(a_n)\to+infty\ iff\ a_n\to+infty$: un'implicazione è ovvia e per l'altra è sufficiente applicare $log$ (che è una funzione continua) a entrambi i membri di $e^(a_n)\to+infty$.
_____________________________________[size=75]
In termini inutilmente forbiti direi che $"exp"$ è un omeomorfismo, ovvero una funzione continua, invertibile, con l'inversa continua. Il comportamento di sopra è tipico degli omeomorfismi: non alterano quello che accade dal punto di vista topologico.[/size]