Come faccio a dire se questo integrale converge o diverge?

[calolillo]

$ int_(b)^(+oo ) 1/(xlog(x+1)) dx $ con $b>0$

Come faccio a dire se converge o diverge? Non posso dire che è un infinitesimo di ordine alfa > 1 perchè non posso confrontarlo con l'infinitesimo campione...dunque che criterio posso utilizzare?

P.S.: altra domanda forse un po' offtopic: dire che un integrale converge ha lo stesso significato che affermare che la funzione integranda è integrabile? e quindi dire che diverge corrisponde col dire che non lo è?

[dissonance]

Non puoi confrontarlo con gli infinitesimi campione della forma $1/(x^alpha)$, vero. Ma puoi confrontarlo con $1/(x log x)$, direi. Sai dire se $int_b^infty 1/(x log x)"d"x$ converge o diverge? Se non mi ricordo male, converge. Prova ad integrare per parti.

[gugo82]

Scusa dissonance, ma [tex]$\frac{1}{x\ln x}$[/tex] non è la derivata di [tex]$\ln (\ln x)$[/tex]?

[calolillo]

Sì, ha ragione gugo82, risolto con la sostituzione, l'integrale diverge. Grazie a entrambi. Invece volevo risolvere il dubbio che avevo espresso all'inizio (o devo aprire un altro topic a riguardo? :p) "dire che un integrale converge ha lo stesso significato che affermare che la funzione integranda è integrabile? e quindi dire che diverge corrisponde col dire che non lo è?"

[dissonance]

"gugo82":[tex]$\frac{1}{x\ln x}$[/tex] non è la derivata di [tex]$\ln (\ln x)$[/tex]?

Questo dimostra che mi ricordavo male, l'integrale diverge.

Sulla domanda "che significa integrabile?", è questione di definizioni. Alcuni autori intendono per "integrabile" (secondo Riemann) una funzione il cui integrale generalizzato converge, altri richiedono che debba convergere l'integrale del valore assoluto. In quest'ultimo senso si usa di più il termine "sommabile", però. Di sicuro, se l'integrale generalizzato non converge, nessuno dirà che la funzione è integrabile secondo Riemann; attenzione che potrebbe essere integrabile in qualche altro senso.

[calolillo]

Sei stato chiarissimo. Grazie.