Come disegnare un grafico qualitativo di una funzione in un punto assegnato
Ciao! Devo svolgere questo esercizio:
Usando la definizione, scrivere la formula di Taylor (con resto in forma di Peano) dell'ordine 2 indicato e centrata nel punto $\pi/2$ per la funzione $log(sinx)$.
Tracciare un grafico qualitativo di $f$ nell'intorno di $x = \pi/2$, precisando segno, monotonia, concavità e convessità di $f$ nell'intorno di $x = \pi/2$.
Ho trovato che:
$log(sinx)=-1/2(x-\pi/2)^2+o((x-\pi/2)^2)$
Ora come traccio il grafico senza fare uno studio completo di funzione?
Per esempio, in questo caso ho:
$f(\pi/2)=0$
$f'(\pi/2)=0$
$f''(\pi/2)=-1$
Da $f(\pi/2)=0$ ricavo il punto $(\pi/2,0)$.
Dalla derivata prima posso ricavare la monotonia ma in questo caso $f'(x)=0$ quindi in $x=\pi/2$ potrebbe esserci un punto di max o min ma come sapere quale fra i due?
Dalla derivata seconda ricavo se la funzione è concava o convessa, in questo caso è concava siccome $f''(x)<0$. Giusto?
E il segno come lo ricavo?
Grazie infinite.
Usando la definizione, scrivere la formula di Taylor (con resto in forma di Peano) dell'ordine 2 indicato e centrata nel punto $\pi/2$ per la funzione $log(sinx)$.
Tracciare un grafico qualitativo di $f$ nell'intorno di $x = \pi/2$, precisando segno, monotonia, concavità e convessità di $f$ nell'intorno di $x = \pi/2$.
Ho trovato che:
$log(sinx)=-1/2(x-\pi/2)^2+o((x-\pi/2)^2)$
Ora come traccio il grafico senza fare uno studio completo di funzione?
Per esempio, in questo caso ho:
$f(\pi/2)=0$
$f'(\pi/2)=0$
$f''(\pi/2)=-1$
Da $f(\pi/2)=0$ ricavo il punto $(\pi/2,0)$.
Dalla derivata prima posso ricavare la monotonia ma in questo caso $f'(x)=0$ quindi in $x=\pi/2$ potrebbe esserci un punto di max o min ma come sapere quale fra i due?
Dalla derivata seconda ricavo se la funzione è concava o convessa, in questo caso è concava siccome $f''(x)<0$. Giusto?
E il segno come lo ricavo?
Grazie infinite.
Risposte
Ciao, secondo me viene molto più veloce studiare quella funzione che cercare delle scorciatoie. Guarda.
Innanzitutto la condizione di esistenza del logaritmo richiede $sin(x) >0$, quindi $x in (k*pi, (k+1)*pi) text( con ) k in NN$. Data dunque la periodicità della funzione studiamo solo il caso $x in (0,pi)$.
Ai limiti del dominio vedi rapidamente che la funzione va a $-infty$. Inoltre, dato che $sin(x) <=1$, hai $f(x) <= 0 AA x in (0,pi)$ con $f(x) = 0 <=> x=pi/2$, quindi è ovvio che $pi/2$ è un punto di massimo, senza scomodare le derivate che è sempre buona cosa
Comunque, in casi più complicati le cose, appunto, si complicano (proprietà di linguaggio $< epsilon$, me ne scuso), quindi ti spiego il procedimento standard per $f:RR -> RR$.
Innanzitutto la condizione di esistenza del logaritmo richiede $sin(x) >0$, quindi $x in (k*pi, (k+1)*pi) text( con ) k in NN$. Data dunque la periodicità della funzione studiamo solo il caso $x in (0,pi)$.
Ai limiti del dominio vedi rapidamente che la funzione va a $-infty$. Inoltre, dato che $sin(x) <=1$, hai $f(x) <= 0 AA x in (0,pi)$ con $f(x) = 0 <=> x=pi/2$, quindi è ovvio che $pi/2$ è un punto di massimo, senza scomodare le derivate che è sempre buona cosa

Comunque, in casi più complicati le cose, appunto, si complicano (proprietà di linguaggio $< epsilon$, me ne scuso), quindi ti spiego il procedimento standard per $f:RR -> RR$.
Ciao poll, grazie per la risposta. Il punto è che il corso che sto seguendo ora non affronta lo studio di funzioni completo quindi non posso usarlo, posso utilizzare solo le informazioni che ottengo dalle derivate.
Per esempio in un altro esercizio mi viene data la funzione:
$f(x)=1+x+1/4x^2+o(x^2)$
e devo tracciareun grafico qualitativo nell'intorno di $x=0$, precisando, come prima, segno, monotonia, concavità e convessità, punto di min/max/flesso.
Ho travato che:
Per esempio in un altro esercizio mi viene data la funzione:
$f(x)=1+x+1/4x^2+o(x^2)$
e devo tracciareun grafico qualitativo nell'intorno di $x=0$, precisando, come prima, segno, monotonia, concavità e convessità, punto di min/max/flesso.
Ho travato che:
- $f(x)=1+x+1/4x^2 rArr f(0)=1$[/list:u:3fn608pz]
- $f'(x)=1+1/2x rArr f'(0)=1$[/list:u:3fn608pz]
- $f(x)=1/2 rArr f''(0)=1/2$[/list:u:3fn608pz]
Quindi la funzione in $x=0$ è crescente e convessa. Poi ho trovato il segno di $f$ risolvendo $f>0$ e ho ottenuto $f>-2$ quindi:
- per $x<-2$ $f$ è negativa[/list:u:3fn608pz]
- per $x > -2$ $f$ è positiva[/list:u:3fn608pz]
Eppure guardando su Wolfram http://www.wolframalpha.com/input/?i=series+1%2Bx%2B1%2F4x%5E2+at+x%3D0 $f$ è sempre positiva. Cosa sto sbagliando?
Nessuno?
