Come disegnare un grafico qualitativo di una funzione in un punto assegnato

[stefano8612]

Ciao! Devo svolgere questo esercizio:

Usando la definizione, scrivere la formula di Taylor (con resto in forma di Peano) dell'ordine 2 indicato e centrata nel punto $\pi/2$ per la funzione $log(sinx)$.
Tracciare un grafico qualitativo di $f$ nell'intorno di $x = \pi/2$, precisando segno, monotonia, concavità e convessità di $f$ nell'intorno di $x = \pi/2$.

Ho trovato che:

$log(sinx)=-1/2(x-\pi/2)^2+o((x-\pi/2)^2)$

Ora come traccio il grafico senza fare uno studio completo di funzione?

Per esempio, in questo caso ho:
$f(\pi/2)=0$
$f'(\pi/2)=0$
$f''(\pi/2)=-1$

Da $f(\pi/2)=0$ ricavo il punto $(\pi/2,0)$.
Dalla derivata prima posso ricavare la monotonia ma in questo caso $f'(x)=0$ quindi in $x=\pi/2$ potrebbe esserci un punto di max o min ma come sapere quale fra i due?
Dalla derivata seconda ricavo se la funzione è concava o convessa, in questo caso è concava siccome $f''(x)<0$. Giusto?

E il segno come lo ricavo?

Grazie infinite.

[poll89]

Ciao, secondo me viene molto più veloce studiare quella funzione che cercare delle scorciatoie. Guarda.
Innanzitutto la condizione di esistenza del logaritmo richiede $sin(x) >0$, quindi $x in (k*pi, (k+1)*pi) text( con ) k in NN$. Data dunque la periodicità della funzione studiamo solo il caso $x in (0,pi)$.
Ai limiti del dominio vedi rapidamente che la funzione va a $-infty$. Inoltre, dato che $sin(x) <=1$, hai $f(x) <= 0 AA x in (0,pi)$ con $f(x) = 0 <=> x=pi/2$, quindi è ovvio che $pi/2$ è un punto di massimo, senza scomodare le derivate che è sempre buona cosa

Comunque, in casi più complicati le cose, appunto, si complicano (proprietà di linguaggio $< epsilon$, me ne scuso), quindi ti spiego il procedimento standard per $f:RR -> RR$.

Come sai, il segno della derivata prima di una funzione da $RR$ in $RR$ in un intervallo indica univocamente la monotònia della funzione in quell'intervallo. La dimostrazione di questo fatto si trova anche sotto i sassi, purchè abbiano fatto parte di un edificio in cui si insegnava analisi 1. Alagomanete con la derivata seconda per concavità verso l'alto o verso il basso.

All'atto pratico, quello che fai è segnare i punti che annullano la derivata nell'intervallo, poi studi il segno mettendo una freccia crescente dove la derivata è positiva ed una decrescente dove è negativa. A quel punto vedrai subito i punti di max e min
In questo caso quindi segneresti solo $pi/2$, con una freccia crescente a sinistra ed una decrescente a destra.
La stessa cosa si fa per la derivata seconda, segnando però concavità verso l'alto negli intervalli di derivata positiva, verso il basso per derivata negativa. Qui hai derivata seconda è negativa in tutto l'intervallo e quindi concavità verso il basso.

[stefano8612]

Ciao poll, grazie per la risposta. Il punto è che il corso che sto seguendo ora non affronta lo studio di funzioni completo quindi non posso usarlo, posso utilizzare solo le informazioni che ottengo dalle derivate.


Per esempio in un altro esercizio mi viene data la funzione:
$f(x)=1+x+1/4x^2+o(x^2)$
e devo tracciareun grafico qualitativo nell'intorno di $x=0$, precisando, come prima, segno, monotonia, concavità e convessità, punto di min/max/flesso.

Ho travato che:

$f(x)=1+x+1/4x^2 rArr f(0)=1$[/list:u:3fn608pz]

$f'(x)=1+1/2x rArr f'(0)=1$[/list:u:3fn608pz]

$f(x)=1/2 rArr f''(0)=1/2$[/list:u:3fn608pz]

Quindi la funzione in $x=0$ è crescente e convessa. Poi ho trovato il segno di $f$ risolvendo $f>0$ e ho ottenuto $f>-2$ quindi:

per $x<-2$ $f$ è negativa[/list:u:3fn608pz]

per $x > -2$ $f$ è positiva[/list:u:3fn608pz]

Eppure guardando su Wolfram http://www.wolframalpha.com/input/?i=series+1%2Bx%2B1%2F4x%5E2+at+x%3D0 $f$ è sempre positiva. Cosa sto sbagliando?

[stefano8612]

Nessuno?