Come dimostrare proprietà distributiva dei numeri complessi

[atomico731]

Presi i seguenti 3 numeri complessi:

c1 = t1(cosA1+isenA1)
c2 = t2(cosA2+isenA2)
c3 = t3(cosA3+isenA3)

vorrei dimostrare la proprietà distributiva (che sappiamo essere vera per i numeri complessi), ovvero che:

c1c4 = c1c2+c1c3 con c4=(c2+c3)

Le proprietà che posso sfruttare sono:

1) la moltiplicazione tra numeri complessi è un numero complesso il cui modulo è la moltiplicazione dei moduli di partenza e l'angolo la somma degli angoli, ovvero:

c1c2 = t1t2[cosa(A1+A2)+isen(A1+A2)]

2) la somma tra numeri complessi è la somma delle loro parti reali e immaginarie, ovvero:

c1+c2 = (t1cosA1+t2cosA2)+i(t1senA1+t2senA2)

3) il modulo e l'angolo di un numero complesso possono essere espressi in funzione delle loro parti reali e immaginarie nel seguente modo:

A1 = artg[(t1senA1)/(t1cosA1)]
t1= radice[(t1cosA1)(t1cosA1)+(t1senA1)(t1senA1)]


Non sono riuscito ancora a dimostrarla sebbene dovrebbe essere una dimostrazione più lunga che difficile. E non ho trovato su internet alcun sito in cui venisse data nei termini che vi ho presentato.
Se qualcuno di voi si sentisse in grado di portarla a termine non esiti a provarci e a postarla.

[krek1]

Se non ti formalizzi io studierei il porblema in questa forma

$(a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)$

però mi sa che è proprio quello il problema

[gugo82]

La strada facile è passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica e fare i conti a mano.

La strada difficile è usare sempre la forma trigonometrica anche per scrivere la somma: in tal caso, probabilmente dovrai usare le formule della trigonometria elementare a go-go.

[atomico731]

Sono riuscito nell'intento.
Ho impiegato due facciate A4 piene di calcoli, che non sto a riportare qui.
Per chi è interessato dico il procedimento.
Ho dimostrato che c1c2 e (c1c3+c1c4) hanno stesso modulo e stesso angolo.
In particolare è necessario esprimere l'angolo di c1c2 come una singola artangente, utilizzando la seguente tecnica:

C = artgA+artgB = artg[tg(artgA+artgB)]= artg[(tg(artgA)+tg(artgB))/(1-tg(artgA)tg(artgB)] = artg [(A+B)/(1-AB)]

Inoltre ho utilizzato varie formule trigonometriche, in particolare:

tg(A+B)= (tgA+tgB)/(1-tgAtgB)

cos (artg(A)) = radice[1/(1+A*A)]
sen (artg(A)) = radice[(A*A)/(1+A*A)]

cos(A+B) = cosAcosB-senAsenB
cos(A-B) = cosAcosB+senAsenB
sen(A+B) = senAcosB+cosAsenB