Come dimostrare parte finale di esercizio? E' corretto?
Ciao, cerco un aiuto per capire meglio un passaggio che non mi torna, vorrei provare a esorre il dubbio con un primo esercizio più semplice (1) che mi sono porto per provare a formalizzare la parte finale di un esercizio (2).
Mi trovo di fronte a voler mostrare che qualunque $a$ nei reali si può scrivere come $a=b+1$ con b nei reali ( a parolacce "che copro tutti i reali di nuovo".
Ho pensato di prendere i due insiemi seguenti $A={x|x in R}$ in altre parole: $R$ e $B=y|y=x+1$ e in fin dei conti voglio mostrare che sussiste l'uguaglianza ${x|x in R}=y|y=x+1$ (é giusta come idea?)
Ecco qui svolgo la dimostrazione con le due inclusioni: la prima $a in A => a in B$ e la seconda $a in A <= a in B$ ma questo è pur vero poiché, vediamo:
=>) HP: $a in R$, th: $a=x+1$
è vero poiché ponendo $x:=a-1$ giungo a quanto voluto.
(2) L'esercizio dovrei concluderlo dimostrando che qualsiasi reale $alpha$ posso scriverlo come $(alpha=b+2c)/n$ con $b in R, c in Z, n in N$
Capito il procedimento sopra direi che è del tutto simile al caso (1), potrei fare uguale no?
Ringrazio per le correzioni e le spiegazioni
Mi trovo di fronte a voler mostrare che qualunque $a$ nei reali si può scrivere come $a=b+1$ con b nei reali ( a parolacce "che copro tutti i reali di nuovo".
Ho pensato di prendere i due insiemi seguenti $A={x|x in R}$ in altre parole: $R$ e $B=y|y=x+1$ e in fin dei conti voglio mostrare che sussiste l'uguaglianza ${x|x in R}=y|y=x+1$ (é giusta come idea?)
Ecco qui svolgo la dimostrazione con le due inclusioni: la prima $a in A => a in B$ e la seconda $a in A <= a in B$ ma questo è pur vero poiché, vediamo:
=>) HP: $a in R$, th: $a=x+1$
è vero poiché ponendo $x:=a-1$ giungo a quanto voluto.
(2) L'esercizio dovrei concluderlo dimostrando che qualsiasi reale $alpha$ posso scriverlo come $(alpha=b+2c)/n$ con $b in R, c in Z, n in N$
Capito il procedimento sopra direi che è del tutto simile al caso (1), potrei fare uguale no?
Ringrazio per le correzioni e le spiegazioni
Risposte
Scusa, ma qual è il testo degli esercizi?
Ad ogni buon conto, che la funzione $f(x) = x + 1$ sia una biiezione di $RR$ in sé mi pare che si dimostri facendo il conto, come hai poi fatto.
La parte 2 non si capisce cosa tu debba/voglia fare.
Ad ogni buon conto, che la funzione $f(x) = x + 1$ sia una biiezione di $RR$ in sé mi pare che si dimostri facendo il conto, come hai poi fatto.
La parte 2 non si capisce cosa tu debba/voglia fare.
Ti ringrazio per la risposta. Vorrei poter continuare la discussione perché vorrei poterti/vi esporre ancora alcuni dubbi:
(1) per il primo punto ho eseguito in effetti la dimostrazione, tuttavia sfrutto un fatto proprio dei reali, ossia che:
ossia che poso trovare il reale x=a-1 per ogni a. Tuttavia se mi chiedessi perché posso trovare questo x ogni volta non saprei giustificarlo perfettamente. Io ho studiato la costruzione dei reali da Dedekind e sostanzialmetne questo si dovrebbe tradurre con il dire che per una qualsiasi sezione di D. di che rappresenta il reale a posso trovarne una seconda che sia x. Ma in modo concreto come si fa?
In altre parole io so da sempre che quanto ho scritto nel quote sia vero, ma non so formalizzarlo per come ho costruito i Reali con D. Posso chiedervi come si faccia?
******
(2) Purtroppo sono niubbo con le formule e ho sbagliato e non si capiva un tubero, l'esercizio chiedeva: (sarebbe la conclusione di un es. più lungo main sostanzami sono bloccato nel) dimostrare che qualsiasi reale α posso scriverlo come $alpha=(b+2c)/n$ con $b in R, c in Z, n in N$. Insomma è solo più complesso del punto 1 ma la teoria sottostante mi sembra la stessa. Quindi ho solo semplificato la domanda creando il punto (1) ad hoc per non portarmi dietro mille parametri e riducendo la domanda al solo punto dubbio.
Grazie per il tuo aiuto
(1) per il primo punto ho eseguito in effetti la dimostrazione, tuttavia sfrutto un fatto proprio dei reali, ossia che:
=>) HP: $a in R$, th: $a=x+1$
è vero poiché ponendo $x:=a-1$ giungo a quanto voluto.
ossia che poso trovare il reale x=a-1 per ogni a. Tuttavia se mi chiedessi perché posso trovare questo x ogni volta non saprei giustificarlo perfettamente. Io ho studiato la costruzione dei reali da Dedekind e sostanzialmetne questo si dovrebbe tradurre con il dire che per una qualsiasi sezione di D. di che rappresenta il reale a posso trovarne una seconda che sia x. Ma in modo concreto come si fa?
In altre parole io so da sempre che quanto ho scritto nel quote sia vero, ma non so formalizzarlo per come ho costruito i Reali con D. Posso chiedervi come si faccia?
******
(2) Purtroppo sono niubbo con le formule e ho sbagliato e non si capiva un tubero, l'esercizio chiedeva: (sarebbe la conclusione di un es. più lungo main sostanzami sono bloccato nel) dimostrare che qualsiasi reale α posso scriverlo come $alpha=(b+2c)/n$ con $b in R, c in Z, n in N$. Insomma è solo più complesso del punto 1 ma la teoria sottostante mi sembra la stessa. Quindi ho solo semplificato la domanda creando il punto (1) ad hoc per non portarmi dietro mille parametri e riducendo la domanda al solo punto dubbio.
Grazie per il tuo aiuto
"smartword":
(1) per il primo punto ho eseguito in effetti la dimostrazione, tuttavia sfrutto un fatto proprio dei reali, ossia che:
=>) HP: $a in R$, th: $a=x+1$
è vero poiché ponendo $x:=a-1$ giungo a quanto voluto.
ossia che posso trovare il reale x=a-1 per ogni a. Tuttavia se mi chiedessi perché posso trovare questo x ogni volta non saprei giustificarlo perfettamente. Io ho studiato la costruzione dei reali da Dedekind e sostanzialmente questo si dovrebbe tradurre con il dire che per una qualsiasi sezione di D. di che rappresenta il reale a posso trovarne una seconda che sia x. Ma in modo concreto come si fa?
In altre parole io so da sempre che quanto ho scritto nel quote sia vero, ma non so formalizzarlo per come ho costruito i Reali con D. Posso chiedervi come si faccia?
Qualsiasi costruzione di $RR$ tu abbia fatto, sai che $(RR, +)$ è un gruppo; quindi sei a posto. Perché?
"smartword":
(2) Purtroppo sono niubbo con le formule e ho sbagliato e non si capiva un tubero, l'esercizio chiedeva: (sarebbe la conclusione di un es. più lungo ma in sostanza mi sono bloccato nel) dimostrare che qualsiasi reale α posso scriverlo come $alpha=(b+2c)/n$ con $b in R, c in Z, n in N$. Insomma è solo più complesso del punto 1 ma la teoria sottostante mi sembra la stessa. Quindi ho solo semplificato la domanda creando il punto (1) ad hoc per non portarmi dietro mille parametri e riducendo la domanda al solo punto dubbio.
J. Von Neumann, a proposito dei parametri, pare solesse dire: Con quattro parametri posso descrivere un elefante e con cinque posso fargli muovere la proboscide.
Ciò vuol dire che se hai un'equazione contenente tanti parametri, puoi ottenere ciò che vuoi.
Qui, fissati $alpha$, $c$ ed $n$, riesci a determinare univocamente $b$; e tanto basta.
(1) Ok quindi tu dici: poiché la somma produce a conti fatti una sezione è ben definita come operazione ed è un reale $alpha+beta$ somma di reali. Dalla definizione posso dimostrare essere un gruppo commutativo con tale operazione di somma di sezioni.
Ora, proprio perché gruppo, è chiuso rispetto al nostro +: quindi, $a+1$ è ancora un reale ed esiste perciò $x$.
Posso quindi scrivere $a=x+1, x:=a+1$
Non so se ci ho preso. Ma non mi vengono altre idee più furbe.
(2) Certo, però determino b sempre in forza alla questione che sono in un gruppo. Sbaglio
PS: carina quella di Neumann
Ora, proprio perché gruppo, è chiuso rispetto al nostro +: quindi, $a+1$ è ancora un reale ed esiste perciò $x$.
Posso quindi scrivere $a=x+1, x:=a+1$
Non so se ci ho preso. Ma non mi vengono altre idee più furbe.
(2) Certo, però determino b sempre in forza alla questione che sono in un gruppo. Sbaglio
PS: carina quella di Neumann
"smartword":
(1) Ok quindi tu dici: poiché la somma produce a conti fatti una sezione è ben definita come operazione ed è un reale $alpha+beta$ somma di reali. Dalla definizione posso dimostrare essere un gruppo commutativo con tale operazione di somma di sezioni.
Ora, proprio perché gruppo, è chiuso rispetto al nostro +: quindi, $a+1$ è ancora un reale ed esiste perciò $x$.
Posso quindi scrivere $a=x+1, x:=a+1$
Non so se ci ho preso. Ma non mi vengono altre idee più furbe.
Non proprio... Io dico che in qualsiasi gruppo l'equazione $a = x + 1$ ha soluzione (unica) $x = a - 1$.
Nel tuo gruppo ci possono essere interi, frazioni, sezioni o anche mele e pere, ma la questione non cambia.
"smartword":
(2) Certo, però determino b sempre in forza alla questione che sono in un gruppo. Sbaglio?
Qui l'essere gruppo non basta. Serve la struttura di campo, perché c'è una divisione.
"smartword":
PS: carina quella di Neumann
Von Neumann.
Neumann è un altro matematico.
Non proprio... Io dico che in qualsiasi gruppo l'equazione $a = x + 1$ ha soluzione (unica) $x = a - 1$.
E perché ha sicuramente soluzione nel gruppo?
Pensavo trovasse giustificazione nella chiusura del gruppo per l'operazione che considero.
Qui l'essere gruppo non basta. Serve la struttura di campo, perché c'è una divisione.
già che cavolata che ho detto.Neumann è un altro matematico
Non lo sapevo
"smartword":Non proprio... Io dico che in qualsiasi gruppo l'equazione $a = x + 1$ ha soluzione (unica) $x = a - 1$.
E perché ha sicuramente soluzione nel gruppo?
Cos'è un gruppo $(G,+)$?
E' l'insieme G munito dell'operazione * tale che vale:
- associatività: per ogni a,b,c di G (a*b)*c=a*(b*c) (oss: posso scrivere a*b*c togliendo le parentesi)
- esiste l'elemento neutro e: a*e=e*a=a (oss: la commutatività non èdettovalga perogni elemento ma vale per e)
- esiste l'elemento inverso per ogni elemento del sostegno G: esistendo e definiamo a*b=b*a=e (b inverso)
Ma non mi vengono idee per rispondere seguendo queste proprietà e le uniche osservazioni che ho in mente che ho scritto.
- associatività: per ogni a,b,c di G (a*b)*c=a*(b*c) (oss: posso scrivere a*b*c togliendo le parentesi)
- esiste l'elemento neutro e: a*e=e*a=a (oss: la commutatività non èdettovalga perogni elemento ma vale per e)
- esiste l'elemento inverso per ogni elemento del sostegno G: esistendo e definiamo a*b=b*a=e (b inverso)
Ma non mi vengono idee per rispondere seguendo queste proprietà e le uniche osservazioni che ho in mente che ho scritto.
Due consigli: usa la notazione additiva (perché conviene rispetto al problema) e chiama $0$ l'elemento neutro.
Poi, riscritti gli assiomi di gruppo con questa notazione, come risolvi l'equazione $a = x + 1$?
Perché la risolvi così come sai?
Perché puoi risolverla come sai?
Poi, riscritti gli assiomi di gruppo con questa notazione, come risolvi l'equazione $a = x + 1$?
Perché la risolvi così come sai?
Perché puoi risolverla come sai?
] (a+b)+c=a+(b+c)
] a+0=0+a=a
] a-a=-a+a=0 (-a esiste)
Quindi: $a=x+1$, sommo $-1$ ad ambo i membri esistendo l'inverso di $1$: $a-1=z+1+(-1)$ associatività $a-1=z+(1+(-1))$ e per definizione di inverso: $a+1=x$ ergo x esiste?
] a+0=0+a=a
] a-a=-a+a=0 (-a esiste)
Quindi: $a=x+1$, sommo $-1$ ad ambo i membri esistendo l'inverso di $1$: $a-1=z+1+(-1)$ associatività $a-1=z+(1+(-1))$ e per definizione di inverso: $a+1=x$ ergo x esiste?
Già.
Come dico ai miei studenti di prima liceo (che usualmente si stupiscono sempre di questa cosa): il calcolo è una forma elementare di dimostrazione... D'altra parte, è il cosiddetto Teorema di Esistenza dell'Ingegnere: "se una cosa la so calcolare, allora esiste".
Come dico ai miei studenti di prima liceo (che usualmente si stupiscono sempre di questa cosa): il calcolo è una forma elementare di dimostrazione... D'altra parte, è il cosiddetto Teorema di Esistenza dell'Ingegnere: "se una cosa la so calcolare, allora esiste".
Molto bella questa XD. "Teorema di Esistenza dell'Ingegnere"
"Il calcolo è una forma elementare di dimostrazione"
credo di essermene accorto anche io, oggi
Comunque davvero, molto spesso ho le cose sotto gli occhi (o in testa) ma non so ricavarne la cosa utile come era in questo caso. La conoscenza è davvero articolata e materia complessa da razionalizzare.
grazie mille per il tuo supporto e spunti.
"Il calcolo è una forma elementare di dimostrazione"
credo di essermene accorto anche io, oggi
Comunque davvero, molto spesso ho le cose sotto gli occhi (o in testa) ma non so ricavarne la cosa utile come era in questo caso. La conoscenza è davvero articolata e materia complessa da razionalizzare.
grazie mille per il tuo supporto e spunti.
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