Come dimostrare che un campo vettoriale è di classe C^1

[phyro93]

Salve a tutti,
come da titolo vorrei sapere come poter dimostrare che un assegnato campo vettoriale ad esempio $vec v(x,y)=(y+(2x)/(y+x^2)) vec i+(x+1/(y+x^2)) vec j$ è di classe $C^1$
Per dimostrarlo devo calcolare le derivate parziali e vedere se esse sono continue nell'insieme di definizione del campo? Ed in questo caso le derivate parziali devo calcolarle separatamente per $(y+(2x)/(y+x^2)) vec i$ e $(x+1/(y+x^2)) vec j$ ?

[dissonance]

Si. Puoi anche non calcolarle esplicitamente, se vuoi. Devi applicare alle singole componenti le stesse tecniche che sei abituato ad applicare alle funzioni.

[phyro93]

Quindi posso dire che poichè il campo è espresso tramite funzioni elementari esso è derivabile e poichè le derivate sono:
$(del vec v)/(del x)(x,y)=(2(y-x^2))/(y+x^2)^2 vec i + (1- (2x)/(y+x^2)^2) vec j$ e
$(del vec v)/(del y)(x,y)=(1- (2x)/(y+x^2)^2) vec i - 1/(y+x^2)^2 vec j$
il campo è di classe $C^1$ ?

"dissonance":Si. Puoi anche non calcolarle esplicitamente, se vuoi.

Se non avessi voluto calcolarle esplicitamente cosa avrei dovuto dire per dimostrare che il campo è di classe $C^1$ ?

[dissonance]

"phyro93":Se non avessi voluto calcolarle esplicitamente cosa avrei dovuto dire per dimostrare che il campo è di classe $C^1$ ?

Sono sempre le solite considerazioni... Le singole componenti sono ottenute per mezzo di somme, prodotti, quozienti di funzioni regolari e quindi, dove i quozienti non si annullano, sono esse stesse regolari. Nei punti in cui i quozienti si annullano esse non sono proprio definite. In conclusione, in tutto il proprio insieme di definizione le componenti sono funzioni regolari. Questo è un argomento completamente standard che si usa anche senza accorgersene fin dai tempi di Analisi 1.