Come deformare il cammino di integrazione col teorema di Cauchy
Ciao ragazzi! Ho trovato questo forum e mi sembra fantastico!
Spero possiate darmi una mano...
Non riesco a capire questo esempio spiegato negli appunti del professore.
Ho quest'integrale
$1/2int_(-oo)^(oo) 1/(2i)(e^(iz)-e^(-iz))/z dz$
E gli appunti dicono: "Il lemma di Jordan non è direttamente applicabile. Per il primo addendo bisognerebbe chiudere con una semicirconferenza nel semipiano superiore, mentre il secondo bisognerebbe chiuderlo nel semipiano inferiore. Non si può nemmeno spezzare l'integrale in una somma di due integrali perchè $int_(-oo)^(oo)e^(iz)/z dx$ non esiste (lo zero del denominatore non è più compensato da uno zero del denominatore[ L'equazione di partenza era $1/2int_(-oo)^(oo) sinx/x dx$, portata poi nel piano complesso ].
La difficoltà si aggira nel modo seguente: poichè f(z) è ovunque analitica al finito (si noti che f(z) $rarr$ 1 per z $rarr$ 0 ), prima di spezzare l'integrale si può deformare il cammino di integrazione grazie al teorema di Cauchy. In particolare, i due cammini C1 e C2 [ C1 percorre l'asse reale, aggirando verso l'alto la singolarità nell'origine; C2 l'aggira verso il basso. ] danno lo stesso risultato per I: $I=1/2int_(C1) sinz/z dz=1/2int_(C2) sinz/z dz$.
Dopo aver così deformato il cammino è possibile spezzare l'integrale in una somma di due e procedere con il metodo dei residui.
$I=1/(4i)(int_(C1) e^(iz)/z dz-int_(C1)e^(-iz)/z dz)$ (...) "
Ecco...non ho capito cos'ha fatto, esattamente, per deformare il cammino dell'integrale.. Mi sembra che abbia semplicemente sostituito la x della funzione di partenza con la z...ma non mi è chiaro il ragionamento che ha fatto.
Come fa ad aggirare la singolarità solo cambiando la variabile?
Grazie mille!
Spero possiate darmi una mano...
Non riesco a capire questo esempio spiegato negli appunti del professore.
Ho quest'integrale
$1/2int_(-oo)^(oo) 1/(2i)(e^(iz)-e^(-iz))/z dz$
E gli appunti dicono: "Il lemma di Jordan non è direttamente applicabile. Per il primo addendo bisognerebbe chiudere con una semicirconferenza nel semipiano superiore, mentre il secondo bisognerebbe chiuderlo nel semipiano inferiore. Non si può nemmeno spezzare l'integrale in una somma di due integrali perchè $int_(-oo)^(oo)e^(iz)/z dx$ non esiste (lo zero del denominatore non è più compensato da uno zero del denominatore[ L'equazione di partenza era $1/2int_(-oo)^(oo) sinx/x dx$, portata poi nel piano complesso ].
La difficoltà si aggira nel modo seguente: poichè f(z) è ovunque analitica al finito (si noti che f(z) $rarr$ 1 per z $rarr$ 0 ), prima di spezzare l'integrale si può deformare il cammino di integrazione grazie al teorema di Cauchy. In particolare, i due cammini C1 e C2 [ C1 percorre l'asse reale, aggirando verso l'alto la singolarità nell'origine; C2 l'aggira verso il basso. ] danno lo stesso risultato per I: $I=1/2int_(C1) sinz/z dz=1/2int_(C2) sinz/z dz$.
Dopo aver così deformato il cammino è possibile spezzare l'integrale in una somma di due e procedere con il metodo dei residui.
$I=1/(4i)(int_(C1) e^(iz)/z dz-int_(C1)e^(-iz)/z dz)$ (...) "
Ecco...non ho capito cos'ha fatto, esattamente, per deformare il cammino dell'integrale.. Mi sembra che abbia semplicemente sostituito la x della funzione di partenza con la z...ma non mi è chiaro il ragionamento che ha fatto.
Come fa ad aggirare la singolarità solo cambiando la variabile?
Grazie mille!
Risposte
Molto più semplicemente puoi considerare che quando l'integrale esiste esso coincide con l'integrale in valore principale di Cauchy, per cui calcoli i valori principali di Cauchy di ciascun pezzetto e poi sommi per ottenere il valore principale di Cauchy di $ sinx/(2x) $ che sai coincidere con l'integrale di Riemann siccome si dimostra che esiste (non assolutamente).
Grazie mille, ho capito!! 
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