Come comportarsi se l'Hessiano e' nullo
Salve, sto studiando le funzioni a due o piu' variabili. Punti di min e max relativi sono abbastanza semplici da studiare , almeno da quanto ho potuto capire, se l' Hessiano non e' nullo. In quel caso non ho grandi informazioni e sono costretto a studiare diciamo " a mano" la funzione. Esattamente come posso individuare la curva migliore per studiare i punti critici della funzione?,Faccio abbastanza confusione tra i metodi che propone il libro, inoltre non ho ancora capito se le alternative all'hessiano sono valide per ogni esercizio. Mi accontento anche di un semplice riferimento, con qualche esercizio svolto e commentato per capire.
Grazie per l'interessamento.
Suppish/Fabio
Grazie per l'interessamento.
Suppish/Fabio
Risposte
Ti conviene di studiare il $Deltaf$ della funzione ossia la differenza $f(x,y)-f(x0,y0)$. Il punto $(x0,y0)$ è il punto dove hai l'hessiano nullo.
Dopo aver trovato tale differenza vedi dove è maggiore e minore di $0$.
Porti sull'asse cartesiano questi risultati e prendi un intorno abbastanza "piccolo" del punto critico della funzione.
Se in questo intorno il $Deltaf$ assume sia valori positivi che negativi il punto è di sella, se solo valori positivi allora è un punto di minimo, se solo valori negativi è un punto di massimo.
Dovrebbe essere uno dei metodi più semplici questo. L'unica difficoltà potrebbe essere lo studio della disequazione ma con opportuni ragionamenti e semplificazioni dovresti andare avanti!
Dopo aver trovato tale differenza vedi dove è maggiore e minore di $0$.
Porti sull'asse cartesiano questi risultati e prendi un intorno abbastanza "piccolo" del punto critico della funzione.
Se in questo intorno il $Deltaf$ assume sia valori positivi che negativi il punto è di sella, se solo valori positivi allora è un punto di minimo, se solo valori negativi è un punto di massimo.
Dovrebbe essere uno dei metodi più semplici questo. L'unica difficoltà potrebbe essere lo studio della disequazione ma con opportuni ragionamenti e semplificazioni dovresti andare avanti!
magari se hai problemi con un esercizio in particolare posta qui la traccia e vediamo di risolverlo insieme...sai aiuta molto sia te che me questo tipo di confronto perchè anche io sto preparando l'esame di analisi 2, come presumo stia facendo anche te 
E anche una ricerca sul forum può aiutare. Ecco per esempio un post di Camillo che può tornare utile: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#399578
Sottolineo però come non ci si possa aspettare "un metodo" universale. Ogni problema è diverso dall'altro e su ognuno bisogna ragionare, inventandosi qualcosa ad hoc se necessario - ed è necessario MOLTO spesso.
Sottolineo però come non ci si possa aspettare "un metodo" universale. Ogni problema è diverso dall'altro e su ognuno bisogna ragionare, inventandosi qualcosa ad hoc se necessario - ed è necessario MOLTO spesso.
Dunque, i metodi proposti dal mio libro di testo, oltre all'Hessiano sono i seguenti due:
1) La sostituzione della $g(ax+by)$ con una variabile t e quindi studiare $g(t)$. Talvolta è una retta, altre volte una circonferenza, diciamo la curva che più s'adatta e fin qui ci sono. Magari come suggeriva dlbp la difficoltà può esserci nello studio del segno, ma comunque nulla di particolarmente difficile.
2) Lo studio preliminare del segno delle derivate parziali (quella più semplice). Negli esercizi ciò si traduce con un confronto grafico tra la funzione f(x, g(x)) con g(x) curva di minimi/massimi per la funzione ed una seconda funzione di cui non ho capito la provenienza, alfine di ricercare graficamente i punti di min/max/sella, il libro in questo caso è parecchio sintetico e salta parecchi passaggi/spiegazioni privilegiando i conti. Sapete darmi qualche indicazione in più su questo metodo in particolare, non tutti gli esercizi risultano semplici con il primo metodo e quindi mi trovo abbastanza in difficoltà.
Il testo è il "Marcellini-Sbordone".
1) La sostituzione della $g(ax+by)$ con una variabile t e quindi studiare $g(t)$. Talvolta è una retta, altre volte una circonferenza, diciamo la curva che più s'adatta e fin qui ci sono. Magari come suggeriva dlbp la difficoltà può esserci nello studio del segno, ma comunque nulla di particolarmente difficile.
2) Lo studio preliminare del segno delle derivate parziali (quella più semplice). Negli esercizi ciò si traduce con un confronto grafico tra la funzione f(x, g(x)) con g(x) curva di minimi/massimi per la funzione ed una seconda funzione di cui non ho capito la provenienza, alfine di ricercare graficamente i punti di min/max/sella, il libro in questo caso è parecchio sintetico e salta parecchi passaggi/spiegazioni privilegiando i conti. Sapete darmi qualche indicazione in più su questo metodo in particolare, non tutti gli esercizi risultano semplici con il primo metodo e quindi mi trovo abbastanza in difficoltà.
Il testo è il "Marcellini-Sbordone".
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo