Come capire l'andamento della funzione dai limiti
Ciao a tutti, vi volevo chiedere un aiuto su delle lacune che mi sono portato dalle superiori:
ad esempio $f(x)= (x-1)/(x^2-x-6)
qui se pongo $\lim_{x \to \-2+-} (x-1)/(x^2-x-6)$ =+- $oo$ e $\lim_{x \to \3+-} (x-1)/(x^2-x-6)$=+- $oo$ che sono i punti del dominio ho 2 asintoti verticali e per -2/3+ la funzione tendente a +$oo$ ; e per -2/3 - la funzione tendente a -$oo$ ;
come si rende ciò nel grafico?
PIù generalmente non riesco a capire come impostare un grafico dai limiti e capirne l'andamento;
sarei infinitamente grato a chi riuscisse a spiegarmi questa parte dello studio che mi rimane particolarmente difficile.
Grazie in anticipo.
ad esempio $f(x)= (x-1)/(x^2-x-6)
qui se pongo $\lim_{x \to \-2+-} (x-1)/(x^2-x-6)$ =+- $oo$ e $\lim_{x \to \3+-} (x-1)/(x^2-x-6)$=+- $oo$ che sono i punti del dominio ho 2 asintoti verticali e per -2/3+ la funzione tendente a +$oo$ ; e per -2/3 - la funzione tendente a -$oo$ ;
come si rende ciò nel grafico?
PIù generalmente non riesco a capire come impostare un grafico dai limiti e capirne l'andamento;
sarei infinitamente grato a chi riuscisse a spiegarmi questa parte dello studio che mi rimane particolarmente difficile.
Grazie in anticipo.
Risposte
Dovresti usare il linguaggio per le formule per agevolare la lettura... ad ogni modo, ciò che chiedi è molto semplice ed intuitivo. Te lo spiego in termini informali:
Se $lim_(x->a^+) = +oo$ e $lim_(x->a^-) = -oo$ significa che più ti avvicini ad $a in RR$ da sinistra (cioè scegliendo valori $< a$ sempre più prossimi ad $a$), la funzione assume valori negativi sempre più grandi in valore assoluto; viceversa se ti avvicini ad $a$ da destra, la funzione assume valori positivi sempre più grandi.
Come tradurresti questo fatto graficamente?
Se $lim_(x->a^+) = +oo$ e $lim_(x->a^-) = -oo$ significa che più ti avvicini ad $a in RR$ da sinistra (cioè scegliendo valori $< a$ sempre più prossimi ad $a$), la funzione assume valori negativi sempre più grandi in valore assoluto; viceversa se ti avvicini ad $a$ da destra, la funzione assume valori positivi sempre più grandi.
Come tradurresti questo fatto graficamente?
"pippo99":
Ciao a tutti, vi volevo chiedere un aiuto su delle lacune che mi sono portato dalle superiori:
ad esempio [tex]f(x) =\frac{x-1}{x^2-x-6}[/tex]
qui se pongo il limite tendente a -2 e 3 che sono i punti del dominio ho 2 asintoti verticali e per -2/3+ la funzione tendente a +∞ e per -2/3 - la funzione tendente a -∞
come si rende ciò nel grafico?
PIù generalmente non riesco a capire come impostare un grafico dai limiti e capirne l'andamento;
sarei infinitamente grato a chi riuscisse a spiegarmi questa parte dello studio che mi rimane particolarmente difficile.
Grazie in anticipo.
Osserva che la funzione non è definita per [tex]x=-2[/tex] e [tex]x=3[/tex]. Questo significa che [tex]x=-2[/tex] e [tex]x=3[/tex] non sono punti del dominio della funzione.
Il dominio corretto è [tex]R\setminus\{-2,3\}[/tex]. In maniera corretta hai studiato e calcolato i limiti. Ad esempio [tex]\lim_{x\to-2^-} f(x)=-\infty[/tex]. Questo significa che la funzione per valori di [tex]x[/tex] prossimi a [tex]-2[/tex] da sinistra assume valori molto piccoli e quindi la retta [tex]x=-2[/tex] rappresenta un asintoto verticale. In maniera analoga si ragiona con gli altri punti limite.
"The_Mad_Hatter":
Dovresti usare il linguaggio per le formule per agevolare la lettura...
é stata dura ma alla fine ce l'ho fatta a mettere le formule
"The_Mad_Hatter":
Se $lim_(x->a^+) = +oo$ e $lim_(x->a^-) = -oo$ significa che più ti avvicini ad $a in RR$ da sinistra (cioè scegliendo valori $< a$ sempre più prossimi ad $a$), la funzione assume valori negativi sempre più grandi in valore assoluto; viceversa se ti avvicini ad $a$ da destra, la funzione assume valori positivi sempre più grandi.
Come tradurresti questo fatto graficamente?
innanzitutto ti ringrazio per la risposta così come ringrazio Euphurio; tornando alla funzione, più o meno ho capito il discorso, però faccio un esempio, facendo i calcoli ho trovato i punti di intersezione con l'asse cartesiano i quali sono: (1,0) e (0, 1/6) e studiando f'(x) che è sempre <0 non vi sono nè massimi nè minimi.
Ora mi chiedo perchè si disegna così?
Rispondo io, sperando di essere utile
x = -2 e x= 3 la funzione non è definita. Per questa ragione, ne studi il limite destro e sinistro (sia a -2 che a 3) per capire "come si comporta la funzione avvicinandosi ai valori in cui non esiste". Per essere maggiormente chiaro, a 3 la funzione non esiste, però per x = 3 - $epsilon$ e x = 3 - $epsilon$ con $epsilon$ piccolo a piacere, la funzione esiste. Risulta però scomodo calcolarti il valore che la funzione assume in tutti i punti "poco più piccoli" e "poco più grandi" di 3, cosi ne studi il limite, ovvero calcoli "verso quale valore va la funzione, avvicinandosi a 3 da destra e da sinistra".
Tornando quindi al grafico, dai calcoli del limte, vedi che per x che tende a 3 da destra, il risultato è più infinito. Questo vuol dire che nel grafico, lungo l'asse delle x, avvicinandoti da destra verso sinistra, al numero 3, la funzione deve salire, perchè in corrispondenza di 3 la funzione "vale infinito" (con abuso di linguaggio). Stesso ragionamento da sinistra.
In particolar modo dato che per x = 3 la funzione non assume valore finito, ne superiormente, ne inferiomente all'asse delle x, x = 3 è un asintoto verticale.
Allo stesso modo, per x che tende a +infinito e a -infinito, la funzione va a 0, quindi y = 0 è un'asintoto orizzontale. Graficamente, vedi che la curva a destra va verso 0 (si avvicina all'asse delle x) dall'alto, perchè la funzione è decrescente, stesso discorso a sinistra.
Se hai altri dubbi, chiedi
x = -2 e x= 3 la funzione non è definita. Per questa ragione, ne studi il limite destro e sinistro (sia a -2 che a 3) per capire "come si comporta la funzione avvicinandosi ai valori in cui non esiste". Per essere maggiormente chiaro, a 3 la funzione non esiste, però per x = 3 - $epsilon$ e x = 3 - $epsilon$ con $epsilon$ piccolo a piacere, la funzione esiste. Risulta però scomodo calcolarti il valore che la funzione assume in tutti i punti "poco più piccoli" e "poco più grandi" di 3, cosi ne studi il limite, ovvero calcoli "verso quale valore va la funzione, avvicinandosi a 3 da destra e da sinistra".
Tornando quindi al grafico, dai calcoli del limte, vedi che per x che tende a 3 da destra, il risultato è più infinito. Questo vuol dire che nel grafico, lungo l'asse delle x, avvicinandoti da destra verso sinistra, al numero 3, la funzione deve salire, perchè in corrispondenza di 3 la funzione "vale infinito" (con abuso di linguaggio). Stesso ragionamento da sinistra.
In particolar modo dato che per x = 3 la funzione non assume valore finito, ne superiormente, ne inferiomente all'asse delle x, x = 3 è un asintoto verticale.
Allo stesso modo, per x che tende a +infinito e a -infinito, la funzione va a 0, quindi y = 0 è un'asintoto orizzontale. Graficamente, vedi che la curva a destra va verso 0 (si avvicina all'asse delle x) dall'alto, perchè la funzione è decrescente, stesso discorso a sinistra.
Se hai altri dubbi, chiedi
Sul perchè si disegna così credo che forse il tuo problema siano i punti di flesso.
leggi qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Flesso
Vuoi capire perchè la funzione disegna quella curva in quel modo quando da positiva diventa negativa?
Se è quello il problema e il link non ti è chiaro posta i dubbi.
leggi qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Flesso
Vuoi capire perchè la funzione disegna quella curva in quel modo quando da positiva diventa negativa?
Se è quello il problema e il link non ti è chiaro posta i dubbi.
Ringrazio tutti per le risposte, non mi aspettavo una così calorosa accoglienza e una gentilezza generale verso un nubbio della matematica, purtroppo (nel mio caso) si fanno le superiori con leggerezza(mea culpa) e poi ci si ritrova con delle lacune unreal;
tornando alla funzione, più che il punto di flesso il mio problema è più generale, il procedimento di calcolo l'ho memorizzato e riesco a farlo, ma ho proprio un problema nell'avere informazioni utili a disegnare la funzione dai limiti.
tornando alla funzione, più che il punto di flesso il mio problema è più generale, il procedimento di calcolo l'ho memorizzato e riesco a farlo, ma ho proprio un problema nell'avere informazioni utili a disegnare la funzione dai limiti.
Quello che posso consigliarti e di studiare il grafico delle funzioni elementari, in particolar modo i limiti, in modo da capire come e perchè il grafico va in una certa direzione. Credimi l'argomento è veramente banale e di facilissima comprensione, ma risulta molto ostico da spiegare tramite messaggi
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