Come calcolo in questo caso la convergenza uniforme di una serie di funzioni dopo aver calcolato quella puntuale?

[Izzo2]

Data questa serie di funzioni: $sum_(n =1 \ldots) (-1)^n/4^n (x^2-5)^n$.
Pongo $y= x^2-5$ e $an =(-1)^n/4^n$.
Applicando il teorema di Cauchy-Hadamard trovo che il raggio di convergenza $R= 4$.
Quindi: $-4 Per $-4$ la serie diverge, così come anche per $4$.
Sostituendo $y$, trovo gli intervalli di convergenza che saranno: $]-3,1[ U ]1,3[ $. Quindi la serie converge puntualmente in questo intervallo.
Come faccio a trovare la convergenza uniforme? Io so che convergerà uniformemente in ogni intervallo $[xo -k, xo +k], 0 Grazie

[dissonance]

Il tuo $x_0$ è in realtà un $y_0$. La serie converge uniformemente sugli intervalli $-4+k\le y \le 4-k$ (con $k$ più piccolo di $4$, chiaramente, senno' stiamo scrivendo una cosa senza senso). Ma $y=x^2-5$. Tocca ora risolvere la disequazione.

[Izzo2]

Risolvendo la disequazione $x^2 - 5 >= -4 +k$ trovo che $x= +-1 +k$ interni, mentre per l'altra $x=+-3 -k$ interni.
Mi trovo quindi lo stesso insieme di convergenza di quello puntuale, solo che in questo caso ho i coefficienti $k$. E' così?

[dissonance]

"Izzo":Risolvendo la disequazione $x^2 - 5 >= -4 +k$ trovo che $x= +-1 +k$ interni, mentre per l'altra $x=+-3 -k$ interni.
Mi trovo quindi lo stesso insieme di convergenza di quello puntuale, solo che in questo caso ho i coefficienti $k$. E' così?

Francamente, lo hai detto con i piedi. Ma ho capito cosa vuoi dire, ed è sostanzialmente corretto. Cerca comunque di scrivere come si deve il risultato a cui arrivi, è sempre un buon esercizio sforzarsi di esprimersi bene, aiuta a fissare le idee.

[Izzo2]

Si, hai ragione, scusami. Il mio intervallo di convergenza sarà quindi : $[-3 - k,1 + k] U [1-k , 3+k], 0

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[dissonance]

"Izzo":Si, hai ragione, scusami. Il mio intervallo di convergenza sarà quindi : $[-3 - k,1 + k] U [1-k , 3+k], 0

Più o meno si. Hai pasticciato con i segni: il risultato corretto è $[-3+k, 1-k] uu [1+k, 3-k]$. E cosa è quella $R$? Non citare a macchinetta, ragiona su quello che scrivi. Quella $k$ è un aggeggio matematico per dire: "la convergenza è uniforme a patto di togliere un pezzettino di intervallo, anche incredibilmente piccolo, in modo da escluderne gli estremi". Ricordati questo, quando scrivi l'intervallo, e non sbaglierai.

[Izzo2]

Si, grazie ancora per l'aiuto.
$R$ è il raggio di convergenza.

[dissonance]

Si, quindi quanto fa in questo caso $R$? Proprio numericamente, quanto vale?

[Izzo2]

$4$, no?

[dissonance]

Ma allora cosa significa l'intervallo che tu hai scritto $[1+k, 3-k]$ se $k$ è uguale, diciamo, a $3.9$? Eppure $3.9$ è più piccolo di $4$.

Mi spiego in quello che voglio dire? Credo che tu stia scrivendo a macchinetta, senza capirli, dei fatti che hai letto sulla teoria.

[Izzo2]

In effetti se $k$ fosse $3.9$, la somma $1+k = 4.9$ che è un intorno di $4$..