Come calcolare l'immagine di una funzione ?
esiste un metodo veloce per calcolarsi l'immagine di una funzione ?
Io per ora faccio lo studio della funzione, però è un calcolo lungo . Ci sono metodi più veloci ?
Io per ora faccio lo studio della funzione, però è un calcolo lungo . Ci sono metodi più veloci ?
Risposte
Per farla bene no!
"Lord K":
Per farla bene no!
c'è un metodo diciamo più ad occhio ? meno preciso ma che porti cmq ad un buon risultato ?
il mio prof la fa , ma senza fare studi di funzione con derivate e storie varie e gli riesce farla in poco tempo.
Siccome è un esercizio a domande chiuse non ci si dovrebbe perdere troppo tempo , facendo nel metodo che uso io , invece, un pò di tempo se ne va ..
Dipende dalla funzione. Gli strumenti che ti servono sono quelli dello studio di funzione, ma non è detto che ti servano tutti. Per esempio: qual'è l'immagine di $x\mapstox^2$, $x\inRR$? Risposta: è $[0, +\infty)$ perché i limiti a $+-infty$ sono tutti e due $+infty$ e il minimo assoluto è $0$. Dal fatto che parliamo di una funzione continua segue che l'immagine è $[0, +infty)$ (senza "buchi").
Ora è chiaro che per calcolare il minimo assoluto di questa funzione non sono stato a fare derivate. E' più veloce osservare che $x^2>=0$ sempre e che $x^2=0$ quando $x=0$. Di conseguenza $0$ è il minimo assoluto.
Ora è chiaro che per calcolare il minimo assoluto di questa funzione non sono stato a fare derivate. E' più veloce osservare che $x^2>=0$ sempre e che $x^2=0$ quando $x=0$. Di conseguenza $0$ è il minimo assoluto.
"dissonance":
Dipende dalla funzione. Gli strumenti che ti servono sono quelli dello studio di funzione, ma non è detto che ti servano tutti. Per esempio: qual'è l'immagine di $x\mapstox^2$, $x\inRR$? Risposta: è $[0, +\infty)$ perché i limiti a $+-infty$ sono tutti e due $+infty$ e il minimo assoluto è $0$. Dal fatto che parliamo di una funzione continua segue che l'immagine è $[0, +infty)$ (senza "buchi").
Ora è chiaro che per calcolare il minimo assoluto di questa funzione non sono stato a fare derivate. E' più veloce osservare che $x^2>=0$ sempre e che $x^2=0$ quando $x=0$. Di conseguenza $0$ è il minimo assoluto.
tipo un esercizio di questo genere :
f(x) = (1-x) e^(-2x)
come faccio a calcolarne velocemente l'immagine ?
Disegnati due assi cartesiani e segnati via via le informazioni che raccogli studiando la funzione. In genere riesci a concludere prima di aver fatto uno studio qualitativo completo.
Dunque: $f$ è definita in tutto $RR$, e su questo non ci piove. Di solito conviene vedere subito il comportamento agli estremi dell'intervallo di definizione, così da avere subito una idea sul da farsi (A volte questa informazione è anche sufficiente: prendi il caso di $x^3$). Nel nostro caso la funzione tende a $+infty$ per $x\to-infty$, e a $0$ per $x\to+infty$. A questo punto, data la continuità di $f$, ci aspettiamo che l'immagine sia $[m, +infty)$, dove $m$ è il minimo assoluto di $f$. Teniamo presente però che per $x>1$ la funzione è negativa: quindi per $x\toinfty$ $f$ tende sì a zero, ma "dal basso", restando negativa. Questo minimo allora ce lo aspettiamo negativo.
Per questa funzione $f$ i trucchi finiscono qui: adesso bisogna calcolare questo minimo $m$, e si tratta di fare la derivata prima e vedere dove cambia segno (è facile però).
Il risultato che ho ottenuto io è $[-2e^(-6), +infty)$.
Dunque: $f$ è definita in tutto $RR$, e su questo non ci piove. Di solito conviene vedere subito il comportamento agli estremi dell'intervallo di definizione, così da avere subito una idea sul da farsi (A volte questa informazione è anche sufficiente: prendi il caso di $x^3$). Nel nostro caso la funzione tende a $+infty$ per $x\to-infty$, e a $0$ per $x\to+infty$. A questo punto, data la continuità di $f$, ci aspettiamo che l'immagine sia $[m, +infty)$, dove $m$ è il minimo assoluto di $f$. Teniamo presente però che per $x>1$ la funzione è negativa: quindi per $x\toinfty$ $f$ tende sì a zero, ma "dal basso", restando negativa. Questo minimo allora ce lo aspettiamo negativo.
Per questa funzione $f$ i trucchi finiscono qui: adesso bisogna calcolare questo minimo $m$, e si tratta di fare la derivata prima e vedere dove cambia segno (è facile però).
Il risultato che ho ottenuto io è $[-2e^(-6), +infty)$.
Ad occhio puoi capire che questa funzione è continua e ha dominio in tutto $RR$ quindi se $x$ va ad infinito la funzione tende a 0 dato che hai un esponenziale a denominatore! Sempre perchè hai un esponenziale a denominatore la il segno della tua funzione puoi determinarlo semplicemente da $1 - x$ e osservare semplicemente che la tua funzione sarà positiva per $x < 0$
"dissonance":
Disegnati due assi cartesiani e segnati via via le informazioni che raccogli studiando la funzione. In genere riesci a concludere prima di aver fatto uno studio qualitativo completo.
Dunque: $f$ è definita in tutto $RR$, e su questo non ci piove. Di solito conviene vedere subito il comportamento agli estremi dell'intervallo di definizione, così da avere subito una idea sul da farsi (A volte questa informazione è anche sufficiente: prendi il caso di $x^3$). Nel nostro caso la funzione tende a $+infty$ per $x\to-infty$, e a $0$ per $x\to+infty$. A questo punto, data la continuità di $f$, ci aspettiamo che l'immagine sia $[m, +infty)$, dove $m$ è il minimo assoluto di $f$. Teniamo presente però che per $x>1$ la funzione è negativa: quindi per $x\toinfty$ $f$ tende sì a zero, ma "dal basso", restando negativa. Questo minimo allora ce lo aspettiamo negativo.
Per questa funzione $f$ i trucchi finiscono qui: adesso bisogna calcolare questo minimo $m$, e si tratta di fare la derivata prima e vedere dove cambia segno (è facile però).
Il risultato che ho ottenuto io è $[-2e^(-6), +infty)$.
grazie
se ho altri dubbi oggi non esito a chiederli ;P
$f(x) = log \frac {1}{ t^4 * (t^6 -1)}
è un altra su cui ho dei dubbi... scusate sono ignorante
faccio il dominio e devo fare i limiti sugli estremi giusto ? poi dopo vedo il comportamento e faccio lo studio del segno della derivata. Giusto ?
il problema è che il prof er risolverla non fece nessuna derivata -.-
è un altra su cui ho dei dubbi... scusate sono ignorante
faccio il dominio e devo fare i limiti sugli estremi giusto ? poi dopo vedo il comportamento e faccio lo studio del segno della derivata. Giusto ?
il problema è che il prof er risolverla non fece nessuna derivata -.-
Scrivi meglio la formula, guarda qui: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Altrimenti non si capisce niente. Comunque quello che hai indicato tu è il metodo standard, che funziona sempre. In molti casi si può fare più in fretta però.
Altrimenti non si capisce niente. Comunque quello che hai indicato tu è il metodo standard, che funziona sempre. In molti casi si può fare più in fretta però.
"dissonance":
Scrivi meglio la formula, guarda qui: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Altrimenti non si capisce niente. Comunque quello che hai indicato tu è il metodo standard, che funziona sempre. In molti casi si può fare più in fretta però.
ho riscritto la funzione :
$f(x) = log \frac {1}{ t^4 * (t^6 -1)}
non mi riesce calcolarci l'immagine
... a parte che dovresti decidere se $x$ o $t$ 
ma qui devi valutare l'argomento del logaritmo e vedere come si comporta.
Sapendo che tutto questo ha dominio $RR-[-1,1]$ allora puoi vedere che se $x \to +oo$ oppure $x \to -oo$ avrai $f(x) \to -oo$, mentre se $x \to +-1$ abbiamo che $f(x) \to +oo$ allora come vedi l'immagine è $RR$ visto che la funzione è continua (ove definita)
Il mio consiglio è:
1-Valuti se la funzione è continua.
2-Ad occhio valuti gli estremi (se vanno a $+-oo$ oppure ad un valore finito)
3-Concludi che l'immagine è $[min_x f(x), max_x f(x)]$ oppure $(text{inf}_x f(x), text{sup}_x f(x))$
Se non è continua devi vedere e ripetere il ragionamento precedente nei pezzi nei quali è continua e poi unirli assieme.
ma qui devi valutare l'argomento del logaritmo e vedere come si comporta.Sapendo che tutto questo ha dominio $RR-[-1,1]$ allora puoi vedere che se $x \to +oo$ oppure $x \to -oo$ avrai $f(x) \to -oo$, mentre se $x \to +-1$ abbiamo che $f(x) \to +oo$ allora come vedi l'immagine è $RR$ visto che la funzione è continua (ove definita)
Il mio consiglio è:
1-Valuti se la funzione è continua.
2-Ad occhio valuti gli estremi (se vanno a $+-oo$ oppure ad un valore finito)
3-Concludi che l'immagine è $[min_x f(x), max_x f(x)]$ oppure $(text{inf}_x f(x), text{sup}_x f(x))$
Se non è continua devi vedere e ripetere il ragionamento precedente nei pezzi nei quali è continua e poi unirli assieme.
piccolissimo suggerimento, in casi come questi: sfruttare il fatto che si ha una funzione composta
"Fioravante Patrone":
piccolissimo suggerimento, in casi come questi: sfruttare il fatto che si ha una funzione composta
in sostanza ? ;P
il dominio è da -1 a -infinito e da +1 a +infinito .
a me l'immagine torna tutto R facendo lo studio , è giusto come risultato ? Però ho cmq fatto un processo lungo trovando tutti i punti stazionari vedendo che sono fuori dal dominio e quindi studiando in -1 e +1 la funzione. Potevo evitare di far tutto ciò ?
ho derivato solo l'argomento del logaritmo , ho fatto male ?
Il punto è che "il naso" per tutte queste cose (immagine, se ha massimi e minimi, etc...) si affina con gli esercizi e con la metodologia che già stai applicando. Vedrai da solo/a che dopo un bel pochi di esercizi comincerai a vedere il senso generale prima di cominciare a svolgere l'esercizio. In fondo si studia proprio per questo!
"aeroxr1":
[quote="Fioravante Patrone"]piccolissimo suggerimento, in casi come questi: sfruttare il fatto che si ha una funzione composta
in sostanza ? ;P
il dominio è da -1 a -infinito e da +1 a +infinito .
a me l'immagine torna tutto R facendo lo studio , è giusto come risultato ? Però ho cmq fatto un processo lungo trovando tutti i punti stazionari vedendo che sono fuori dal dominio e quindi studiando in -1 e +1 la funzione. Potevo evitare di far tutto ciò ?
ho derivato solo l'argomento del logaritmo , ho fatto male ?[/quote]
Per quanto riguarda l'immagine forse potevi fare prima notando che:
1) per $x\to+\infty$ la funzione tende a $-\infty$ dato che l'argomento del logaritmo tende a zero
2) per $x\to1^+$ la funzione tende a $+\infty$ dato che l'argomento del logaritmo tende a $+\infty$
Essendo la funzione continua su $]1,+\infty[$, essa "copre" tutti numeri reali per il teorema dei valori intermedi.
"aeroxr1":
[quote="Fioravante Patrone"]piccolissimo suggerimento, in casi come questi: sfruttare il fatto che si ha una funzione composta
in sostanza ? ;P
[/quote]
faccio un esempio semplice
$f(x) = e^{\sin x}$
L'immagine di $\sin x$ è $[-1,1]$.
A questo punto, se la domanda riguarda solo l'immagine della funzione $f$, basta osservare che l'immagine di $e^t$, per $t \in [-1,1]$, è $[e^{-1},e^1]=[1/e,e]$.
"Fioravante Patrone":
[quote="aeroxr1"][quote="Fioravante Patrone"]piccolissimo suggerimento, in casi come questi: sfruttare il fatto che si ha una funzione composta
in sostanza ? ;P
[/quote]
faccio un esempio semplice
$f(x) = e^{\sin x}$
L'immagine di $\sin x$ è $[-1,1]$.
A questo punto, se la domanda riguarda solo l'immagine della funzione $f$, basta osservare che l'immagine di $e^t$, per $t \in [-1,1]$, è $[e^{-1},e^1]=[1/e,e]$.[/quote]
in questo caso avrei dovuto vedere ciò che era dentro il logaritmo che intervallo aveva e poi vedere cosa fa il logaritmo in quegli intervalli , ho afferrato il concetto ?
"aeroxr1":Il concetto mi sembra che l'hai afferrato. Io, invece di dire "che intervallo aveva", direi: "che immagine aveva". E poi, invece di: "cosa fa il logaritmo in quegli intervalli", avrei detto "cosa fa il logaritmo in quell'insieme" (riferendomi alla immagine della funzione "interna").
in questo caso avrei dovuto vedere ciò che era dentro il logaritmo che intervallo aveva e poi vedere cosa fa il logaritmo in quegli intervalli , ho afferrato il concetto ?
Non trascurare il fatto di esprimere le cose con una terminologia adeguata.
"Fioravante Patrone":Il concetto mi sembra che l'hai afferrato. Io, invece di dire "che intervallo aveva", direi: "che immagine aveva". E poi, invece di: "cosa fa il logaritmo in quegli intervalli", avrei detto "cosa fa il logaritmo in quell'insieme" (riferendomi alla immagine della funzione "interna").
[quote="aeroxr1"]
in questo caso avrei dovuto vedere ciò che era dentro il logaritmo che intervallo aveva e poi vedere cosa fa il logaritmo in quegli intervalli , ho afferrato il concetto ?
Non trascurare il fatto di esprimere le cose con una terminologia adeguata.[/quote]
ma l'immagine sono i valori che può assumere la funzione giusto ?
"aeroxr1":
[quote="Fioravante Patrone"]
Non trascurare il fatto di esprimere le cose con una terminologia adeguata.
ma l'immagine sono i valori che può assumere la funzione giusto ?[/quote]
L'immagine è l'insieme dei valori che assume la funzione.
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