Come calcolare la derivata direzionale?
Nel punto \(\displaystyle (x_0,y_0) = (-1,3) \) nella direzione \(\displaystyle (a,b)=(2,1) \) della seguente funzione:
\(\displaystyle f(x,y) = x^2y + 3y^2 \)
Serve l'equazione del piano tangente? Per favore potreste illustrarmi il procedimento?
Siccome potrebbero servire ecco le derivate parziali:
\(\displaystyle f_x = 2xy \) e \(\displaystyle f_y = x^2 + 6y \)
\(\displaystyle f(x,y) = x^2y + 3y^2 \)
Serve l'equazione del piano tangente? Per favore potreste illustrarmi il procedimento?
Siccome potrebbero servire ecco le derivate parziali:
\(\displaystyle f_x = 2xy \) e \(\displaystyle f_y = x^2 + 6y \)
Risposte
In pratica hai un vettore che è il gradiente:
$\nabla = 2xy\ \vec i +(x^2+6y)\ vec j $
e un'altro vettore che è la direzione assegnata
$2 \veci + vecj$
Fai il prodotto scalare e normalizzi il vettore direzione, cioè dividi per il suo modulo
$((4xy)+(x^2+6y))/(\sqrt5)$
Questa è la derivata direzionale, che poi calcoli nel punto desiderato.
$\nabla = 2xy\ \vec i +(x^2+6y)\ vec j $
e un'altro vettore che è la direzione assegnata
$2 \veci + vecj$
Fai il prodotto scalare e normalizzi il vettore direzione, cioè dividi per il suo modulo
$((4xy)+(x^2+6y))/(\sqrt5)$
Questa è la derivata direzionale, che poi calcoli nel punto desiderato.
se dicessi \(\displaystyle t \rightarrow 0 \)
\(\displaystyle \frac{f(-1 + 2t, 3 + t) - f(-1,3)}{t} = \frac{(-1 + 2t)^2(3+t) + 3(3 + t)^2 - 30}{t} = \frac{4t^3 + 11t^2 + 7t}{t} \)
Se i conti fossero corretti, ora cosa posso dire?
\(\displaystyle \frac{f(-1 + 2t, 3 + t) - f(-1,3)}{t} = \frac{(-1 + 2t)^2(3+t) + 3(3 + t)^2 - 30}{t} = \frac{4t^3 + 11t^2 + 7t}{t} \)
Se i conti fossero corretti, ora cosa posso dire?
che è uguale a \(\displaystyle 7 ? \)
Per il calcolo della derivata direzionale hai usato la definizione ; ok ma non va considerato come incremento il vettore direzione $(2,1) $ ma il versore relativo $(2/sqrt(5),1/sqrt(5) )$. Il risultato corretto è infatti $7/sqrt(5)$.
In questo caso essendo $f(x,y) $ differenziabile ovunque è più semplice usare il teorema del gradiente : la derivata direzionale è uguale al prodotto scalare tra gradiente e versore direzione- come ha fatto Quinzio.
In questo caso essendo $f(x,y) $ differenziabile ovunque è più semplice usare il teorema del gradiente : la derivata direzionale è uguale al prodotto scalare tra gradiente e versore direzione- come ha fatto Quinzio.
"Camillo":
non va considerato come incremento il vettore direzione $(2,1) $ ma il versore relativo $(2/sqrt(5),1/sqrt(5) )$.
Hmm... questo però dipende dagli autori. Per alcuni il procedimento seguito da Davide, ovvero il considerare come incremento il vettore dato e non il versore associato, è corretto (e io nel mio piccolo sono tra questi).
@davide: Devi prima controllare sui tuoi appunti o sul tuo libro di testo quale delle due definizioni sia quella da voi adottata.
"Camillo":
Per il calcolo della derivata direzionale hai usato la definizione ; ok ma non va considerato come incremento il vettore direzione $(2,1) $ ma il versore relativo $(2/sqrt(5),1/sqrt(5) )$. Il risultato corretto è infatti $7/sqrt(5)$.
In questo caso essendo $f(x,y) $ differenziabile ovunque è più semplice usare il teorema del gradiente : la derivata direzionale è uguale al prodotto scalare tra gradiente e versore direzione- come ha fatto Quinzio.
Scusatemi per l'intrusione
Non conescevo la definizione di Camillo .
Per me , la risposta era $ df(-1,3).( 2,1) = ((-6)dx + 19 dy )( 2,1) = (-6).2 + 19.1 = 7 $
ma , forse , sbaglio ?
La definizione non è mia 
ma da Bramanti Pagani Salsa leggo :
Definizione - Sia $ f:A sube RR^n rarr RR $, con $A$ aperto, $vec (x_0) in A $ e sia $vecv $ un versore.Si dice derivata direzionale di $f $ rispetto al versore $vecv $ , nel punto $vec( x_0) $ il limite :
$D_( v) f(vec (x_0))=lim_(t rarr 0) (f(vec( x_0)+t vec v)-f(vec (x_0)))/t $ purchè esista finito.
Certo sembra essere una definizione limitata al caso in cui la direzione sia indicata da un versore.... altro non dice.
ma da Bramanti Pagani Salsa leggo :Definizione - Sia $ f:A sube RR^n rarr RR $, con $A$ aperto, $vec (x_0) in A $ e sia $vecv $ un versore.Si dice derivata direzionale di $f $ rispetto al versore $vecv $ , nel punto $vec( x_0) $ il limite :
$D_( v) f(vec (x_0))=lim_(t rarr 0) (f(vec( x_0)+t vec v)-f(vec (x_0)))/t $ purchè esista finito.
Certo sembra essere una definizione limitata al caso in cui la direzione sia indicata da un versore.... altro non dice.
@camillo sui miei appunti sulle derivate direzionali ho soltanto la definizione che ho usato per poter fare quel calcolo, è probabile che siccome sono iscritto a ingegneria i teoremi e le definizioni non sono così rigorose...
Non si tratta di definizioni meno rigorose, ma solo meno generali. In generale, se $A$ è un aperto di uno spazio normato $X$, $f:A\to \mathbb R$ è una funzione e $v\in X$ allora la derivata direzionale di $f$ in $x_0\in A$ nella direzione $v$ è definita come $\frac{\partial f}{\partial v}(x_0)=\lim_{h\to 0}(f(x_0+hv)-f(x_0))/h$, nel caso in cui tale limite esista e sia finito. Se poi $f$ è differenziabile in $x_0$ allora si ha $\frac{\partial f}{\partial v}(x_0)=\nabla f(x_0)\cdot v$.
basta che ti calcoli le derivate parziali,moltiplichi la derivata rispetto a x per (2) e la derivata parziale rispetto a y per (1),e poi ci sostituisci il punto (-1,3)...è semplicissimo
Vero così è molto semplice! Grazie
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