Come calcolare il seguente limite?
Ciao a tutti, ho trovato questo bel limite, ma purtroppo non riesco a calcolarlo, e dubito sia tanto semplice:
$\lim_(n->\infty)\sum_{k=0}^{n} \sqrt(1-k^2/n^2)/n$
Al risultato ci si può arrivare senza calcoli, ma i calcoli mannaggia...
Si esatto zoolander, ma è notevole?
$\lim_(n->\infty)\sum_{k=0}^{n} \sqrt(1-k^2/n^2)/n$
Al risultato ci si può arrivare senza calcoli, ma i calcoli mannaggia...
Si esatto zoolander, ma è notevole?
Risposte
È $lim_(n->+infty)1/nsum_(k=0)^(n)sqrt(1-k^2/n^2)$?
Non penso sia notevole.
Però considera che,
$1geqsqrt(1-1/n^2)geq...geqsqrt(1-(n-1)^2/n^2)geq0$
In generale $0leqsqrt(1-k^2/n^2)leq1,forallk=1,..,n$
Ovvero $0leq1/nsum_(k=0)^(n)sqrt(1-k^2/n^2)leq(n+1)/n,forall ninNN^+$
Sicuro che non ci sia $1/n^2$ fuori? Approssimando si avvicina a $0,785$ e non mi viene nulla in mente oltre questo al momento.
Però considera che,
$1geqsqrt(1-1/n^2)geq...geqsqrt(1-(n-1)^2/n^2)geq0$
In generale $0leqsqrt(1-k^2/n^2)leq1,forallk=1,..,n$
Ovvero $0leq1/nsum_(k=0)^(n)sqrt(1-k^2/n^2)leq(n+1)/n,forall ninNN^+$
Sicuro che non ci sia $1/n^2$ fuori? Approssimando si avvicina a $0,785$ e non mi viene nulla in mente oltre questo al momento.
Sono certo che il limite è corretto anche perché la tua approssimazione torna.
Non mi viene nulla 
Utilizzare le serie di potenze o gli sviluppi in serie non mi sembra utile.
Con maggiorazioni e minorazioni sono arrivato a questo
Però la si potrebbe vedere come $1/n^2sum_(k=0)^(n)sqrt(n^2-k^2)$

Utilizzare le serie di potenze o gli sviluppi in serie non mi sembra utile.
Con maggiorazioni e minorazioni sono arrivato a questo

Però la si potrebbe vedere come $1/n^2sum_(k=0)^(n)sqrt(n^2-k^2)$
Dovrebbe tornare esattamente $\pi/4$, comunque grazie intanto.
Penso di esserci arrivato, domani la posto perché devo elaborarla e sono fuori. Ma appena mi hai scritto $pi/4$ Me ne sono ancora più convinto
OK ti ringrazio. Sono curioso di vedere la procedura.
Hai presente l'integrale di Riemann?
"dan95":
Hai presente l'integrale di Riemann?
Volevo proprio arrivare a questo.
Mi sembra tanto che
$lim_(n->+infty)sum_(k=0)^(n)sqrt(n^2-k^2)$
Degeneri in $int_(0)^(n)sqrt(n^2-x^2)dx$
Perché è come se avessi un intervallo di lunghezza $n$ diviso in $n$
Ma per semplificare i conti non conviene utilizzare la trigonometria?
Allora si avrebbe $x=cos(t)$
$\lim_(n->+\infty)\sum_{k=0}^{n}\sqrt(1-cost^2)/n$
Questo per eliminare la radice...se è possibile dato che l` intervallo dovrebbe consentirlo.
$$\lim_{n->+\infty}\sum_{k=0}^{n}(\sin(t))/(n)$$
Ora però bisogna cambiare variabile...come?
A parte suddividere la circonferenza/4 nello stesso numero di parti del raggio, non mi viene nulla...
Allora si avrebbe $x=cos(t)$
$\lim_(n->+\infty)\sum_{k=0}^{n}\sqrt(1-cost^2)/n$
Questo per eliminare la radice...se è possibile dato che l` intervallo dovrebbe consentirlo.
$$\lim_{n->+\infty}\sum_{k=0}^{n}(\sin(t))/(n)$$
Ora però bisogna cambiare variabile...come?
A parte suddividere la circonferenza/4 nello stesso numero di parti del raggio, non mi viene nulla...