Come calcolare il seguente limite?

curie88
Ciao a tutti, ho trovato questo bel limite, ma purtroppo non riesco a calcolarlo, e dubito sia tanto semplice:

$\lim_(n->\infty)\sum_{k=0}^{n} \sqrt(1-k^2/n^2)/n$

Al risultato ci si può arrivare senza calcoli, ma i calcoli mannaggia...
Si esatto zoolander, ma è notevole?

Risposte
anto_zoolander
È $lim_(n->+infty)1/nsum_(k=0)^(n)sqrt(1-k^2/n^2)$?

anto_zoolander
Non penso sia notevole.

Però considera che,

$1geqsqrt(1-1/n^2)geq...geqsqrt(1-(n-1)^2/n^2)geq0$


In generale $0leqsqrt(1-k^2/n^2)leq1,forallk=1,..,n$

Ovvero $0leq1/nsum_(k=0)^(n)sqrt(1-k^2/n^2)leq(n+1)/n,forall ninNN^+$

Sicuro che non ci sia $1/n^2$ fuori? Approssimando si avvicina a $0,785$ e non mi viene nulla in mente oltre questo al momento.

curie88
Sono certo che il limite è corretto anche perché la tua approssimazione torna.

anto_zoolander
Non mi viene nulla :-k
Utilizzare le serie di potenze o gli sviluppi in serie non mi sembra utile.
Con maggiorazioni e minorazioni sono arrivato a questo :-k

Però la si potrebbe vedere come $1/n^2sum_(k=0)^(n)sqrt(n^2-k^2)$

curie88
Dovrebbe tornare esattamente $\pi/4$, comunque grazie intanto.

anto_zoolander
Penso di esserci arrivato, domani la posto perché devo elaborarla e sono fuori. Ma appena mi hai scritto $pi/4$ Me ne sono ancora più convinto

curie88
OK ti ringrazio. Sono curioso di vedere la procedura.

dan952
Hai presente l'integrale di Riemann?

anto_zoolander
"dan95":
Hai presente l'integrale di Riemann?


Volevo proprio arrivare a questo.
Mi sembra tanto che

$lim_(n->+infty)sum_(k=0)^(n)sqrt(n^2-k^2)$

Degeneri in $int_(0)^(n)sqrt(n^2-x^2)dx$

Perché è come se avessi un intervallo di lunghezza $n$ diviso in $n$

curie88
Ma per semplificare i conti non conviene utilizzare la trigonometria?

Allora si avrebbe $x=cos(t)$

$\lim_(n->+\infty)\sum_{k=0}^{n}\sqrt(1-cost^2)/n$

Questo per eliminare la radice...se è possibile dato che l` intervallo dovrebbe consentirlo.

$$\lim_{n->+\infty}\sum_{k=0}^{n}(\sin(t))/(n)$$

Ora però bisogna cambiare variabile...come?
A parte suddividere la circonferenza/4 nello stesso numero di parti del raggio, non mi viene nulla...

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