Come calcolare $ I= \int delta (cos pi x) (x^2+1)^-1 dx $?
Ciao a tutti! Vorrei chiedervi se potreste aiutarmi con questo integrale
$ I= \int delta (cos pi x) (x^2+1)^-1 dx $
non ho proprio idea in quanto non capisco se i delta di dirac sia applicato solo alla funzione $ (cos pi x) $
Qualche idea?
$ I= \int delta (cos pi x) (x^2+1)^-1 dx $
non ho proprio idea in quanto non capisco se i delta di dirac sia applicato solo alla funzione $ (cos pi x) $
Qualche idea?
Risposte
dovrebbe essere, se gli estremi di integrazione sono infiniti, $\frac{1}{x^2+1}$ valutata nei punti per cui $cos\pix=0$
Ciao Andrea. E se gli estremi di integrazione fossero [-2,2], cioè
$ I= \int_{-2}^{2} delta (cos pi x) (x^2+1)^-1 dx $
?
$ I= \int_{-2}^{2} delta (cos pi x) (x^2+1)^-1 dx $
?
"Nick_93":
Ciao Andrea. E se gli estremi di integrazione fossero [-2,2], cioè
$ I= \int_{-2}^{2} delta (cos pi x) (x^2+1)^-1 dx $
?
Credo lo stesso, in quanto da meno infinito a $-2$ così come da $2$ a infinito il contributo è nullo, quindi puoi benissimo scrivere $ I= \int_{-2}^{2} delta (cos pi x) (x^2+1)^-1 dx = \int_{-\infty}^{\infty} delta (cos pi x) (x^2+1)^-1 dx $
Aspettiamo conferme da parte di altri
Ciò che cambia credo sia solo il fatto che
$cos \pi x=0 $ quando $x= \pm \frac{1}{2}$ 3 per $x= \pm \frac{3}{2}$
ci sono quattro punti in cui posso valutare la funzione! Quindi come dovrei procedere per calcolare l'integrale
Il risultato dovrebbe essere
$I=\frac{96}{\pi 65}$
e non riesco a capire da dove salta fuori
$cos \pi x=0 $ quando $x= \pm \frac{1}{2}$ 3 per $x= \pm \frac{3}{2}$
ci sono quattro punti in cui posso valutare la funzione! Quindi come dovrei procedere per calcolare l'integrale
Il risultato dovrebbe essere
$I=\frac{96}{\pi 65}$
e non riesco a capire da dove salta fuori
"Nick_93":
Ciò che cambia credo sia solo il fatto che
$cos \pi x=0 $ quando $x= \pm \frac{1}{2}$ 3 per $x= \pm \frac{3}{2}$
ci sono quattro punti in cui posso valutare la funzione! Quindi come dovrei procedere per calcolare l'integrale
Il risultato dovrebbe essere
$I=\frac{96}{\pi 65}$
e non riesco a capire da dove salta fuori
prova ad applicare il teorema dei residui allora
Se avessi avuto solo
$\int_{-2}^{2}(cos \pi x)(x^2+1)^{-1}$
uno modo per calcolarlo sarebbe stato con il teorema dei residui tenendo dei poli semplici in $\pm i $
il problema è che non so come trattare
$\delta (cos \pi x)(x^2+1)^{-1}$
Ti ringrazio della pazienza
$\int_{-2}^{2}(cos \pi x)(x^2+1)^{-1}$
uno modo per calcolarlo sarebbe stato con il teorema dei residui tenendo dei poli semplici in $\pm i $
il problema è che non so come trattare
$\delta (cos \pi x)(x^2+1)^{-1}$
Ti ringrazio della pazienza
Non lo so neanche io
Prova a disegnare la curva di equazione $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$
$\delta(cos(\pi x))=\infty $ se $cos(\pi x )=0 \to x=k-1/2$, con $k=0,\pm1,\pm2,...$
il prodotto è diverso da zero per $k=0,\pm1,\pm2$.
Valutando $f(x)$ in corrispondenza dei valori assunti dalla $x$ per quei valori di $k$ e sommando i risultati forse ottieni il risultato.
Prova a disegnare la curva di equazione $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$
$\delta(cos(\pi x))=\infty $ se $cos(\pi x )=0 \to x=k-1/2$, con $k=0,\pm1,\pm2,...$
il prodotto è diverso da zero per $k=0,\pm1,\pm2$.
Valutando $f(x)$ in corrispondenza dei valori assunti dalla $x$ per quei valori di $k$ e sommando i risultati forse ottieni il risultato.
Ok, credo di esserci arrivato. Si arriva al risultato sfruttando la seguente proprietà
$ delta(g(x))=sum_n {delta(x-x_0)}/|g'(x_0)| $
$ delta(g(x))=sum_n {delta(x-x_0)}/|g'(x_0)| $
"Nick_93":
Ok, credo di esserci arrivato. Si arriva al risultato sfruttando la seguente proprietà
$ delta(g(x))=sum_n {delta(x-x_0)}/|g'(x_0)| $
mai vista, da dove l'hai presa?
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