Combinazione lineare di potenze
Ciao!
Studiando i numeri complessi ho incontrato un esercizio che non capisco.
Devo esprimere $ cos 5vartheta $ come combinazione lineare di potenze di $ cos vartheta $ e $ sin vartheta $.
Il mio dubbio è soprattutto la forma finale che dovrei ottenere.
Spero per qualche suggerimento da parte vostra.
Studiando i numeri complessi ho incontrato un esercizio che non capisco.
Devo esprimere $ cos 5vartheta $ come combinazione lineare di potenze di $ cos vartheta $ e $ sin vartheta $.
Il mio dubbio è soprattutto la forma finale che dovrei ottenere.
Spero per qualche suggerimento da parte vostra.
Risposte
Beh, se tieni presente che:
\[
\begin{split}
\cos 5\theta &= \operatorname{Re} \left( e^{\mathbf{i} 5\theta}\right) \\
&= \operatorname{Re} \left( \Big( e^{\mathbf{i} \theta}\Big)^5 \right) \\
&= \operatorname{Re} \left( \Big( \cos \theta +\mathbf{i}\ \sin \theta \Big)^5 \right)
\end{split}
\]
capisci che ti basta isolare la parte reale del numero complesso \(\Big( \cos \theta +\mathbf{i}\ \sin \theta \Big)^5\), che puoi calcolare con le usuali regole del calcolo letterale (cui aggiungi la ciclicità delle potenze di \(\mathbf{i}\)).
Fatto ciò, usi la relazione fondamentale della trigonometria ed hai finito.
Prova.
\[
\begin{split}
\cos 5\theta &= \operatorname{Re} \left( e^{\mathbf{i} 5\theta}\right) \\
&= \operatorname{Re} \left( \Big( e^{\mathbf{i} \theta}\Big)^5 \right) \\
&= \operatorname{Re} \left( \Big( \cos \theta +\mathbf{i}\ \sin \theta \Big)^5 \right)
\end{split}
\]
capisci che ti basta isolare la parte reale del numero complesso \(\Big( \cos \theta +\mathbf{i}\ \sin \theta \Big)^5\), che puoi calcolare con le usuali regole del calcolo letterale (cui aggiungi la ciclicità delle potenze di \(\mathbf{i}\)).
Fatto ciò, usi la relazione fondamentale della trigonometria ed hai finito.
Prova.
Grazie mille per la risposta!
Dopo che ho calcolato la potenza e isolato la parte reale ho ottenuto:
$ cos^5theta-10cos^3theta sin^2theta +5costheta sin^4theta $
Poi ho cercato di semplificare con la relazione fondamentale della trigonometria:
$ 16cos^5theta-20cos^3theta +5costheta $
Spero che la forma che ho trovato è quella giusta.
Dopo che ho calcolato la potenza e isolato la parte reale ho ottenuto:
$ cos^5theta-10cos^3theta sin^2theta +5costheta sin^4theta $
Poi ho cercato di semplificare con la relazione fondamentale della trigonometria:
$ 16cos^5theta-20cos^3theta +5costheta $
Spero che la forma che ho trovato è quella giusta.
La forma matematica è giusta... Quella italiana può solo migliorare (usare un congiuntivo ogni tanto fa bene).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo