Coefficienti serie di potenze
salve a tutti. ho quest'esercizio che non so come prendere:
determinare, per ogni intero $ n >= 0 $, i coefficienti $ c_n $ per i quali $ sum_(n=0)^(+infty) c_nx^n=1/(1+8/3x-x^2) $
cosa mi chiede? dovrei trovare la serie di potenze "originaria" che converge alla funzione somma $S(x)=1/(1+8/3x-x^2) $?
ho sempre visto esercizi al contrario e mai di questo tipo. potete darmi una dritta?
grazie.
determinare, per ogni intero $ n >= 0 $, i coefficienti $ c_n $ per i quali $ sum_(n=0)^(+infty) c_nx^n=1/(1+8/3x-x^2) $
cosa mi chiede? dovrei trovare la serie di potenze "originaria" che converge alla funzione somma $S(x)=1/(1+8/3x-x^2) $?
ho sempre visto esercizi al contrario e mai di questo tipo. potete darmi una dritta?
grazie.
Risposte
ha senso dire che $1/(1+8/3x-x^2) = 1/(1-(x^2+8/3x))$ dunque $1/(1-(x^2+8/3x))= sum_(n=0)^(+infty) (x^2+8/3x)$ quando $|x^2+8/3x|<1$ cioè per $x in ]-1/3,(8-2sqrt(7))/3[ uu ](8+2sqrt(7))/3,3[$?
non mi è comunque chiaro come si trovano i coefficienti $c_n$ PER OGNI $n$.
grazie.
non mi è comunque chiaro come si trovano i coefficienti $c_n$ PER OGNI $n$.
grazie.
Io penserei allo sviluppo in serie di Taylor della funzione, magari con un occhio all'intervallo di convergenza...
dopotutto tale sviluppo se esiste e' anche unico, quindi e' garantito che puo' essere solo quello...
poi in qualche maniera troncherei se necessario con la funzione caratteristica...
$ 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+...$ per $ |x|<1 $
dopotutto tale sviluppo se esiste e' anche unico, quindi e' garantito che puo' essere solo quello...
poi in qualche maniera troncherei se necessario con la funzione caratteristica...
$ 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+...$ per $ |x|<1 $
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