Coefficienti serie di Fourier
Ho la seguente funzione: [tex]$f(x)=x(\pi-x), x \in [0,\pi]$[/tex].
Mi dice di estenderla a una funzione dispari e [tex]$2\pi$[/tex]-periodica su tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Poi mi chiede di dimostrare, senza calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier, che [tex]$\lim_{n\to + \infty} n^2b_n=0$[/tex] e che [tex]$\text{sup}_{n\geq1}n^4|b_n|=+\infty$[/tex].
Io l'ho estesa al seguente modo: [tex]$f(x)= \begin{cases} x(\pi-x) \text{ se } x \in [2k\pi,\pi+2k\pi] \\ -x(\pi-x) \text{ se } x \in [\pi+2k\pi,2\pi+2k\p] \end{cases}$[/tex]
Essendo [tex]$f$[/tex] limitata e integrabile su [tex]$[0,\pi]$[/tex], per la disuguaglianza di Bessel posso dedurre che i coefficienti [tex]$a_n$[/tex] e [tex]$b_n$[/tex] sono infinitesimi (se non sbaglio questo è detto lemma di Riemann-Lebesgue).
Inoltre, c'è un teorema che mi dice che se [tex]$f \in C^{s-1}(\mathbb{R})$[/tex] e se [tex]$D^{s-1}(f)$[/tex] è regolare a tratti (*), allora [tex]$a_n,b_n=o(n^{-s})$[/tex].
Applicando questo teorema, è facilmente dimostrato il limite, ma non riesco comunque a dimostrare che l'estremo superiore non è finito.
Inoltre, non sono sicuro di poter applicare il teorema: il fatto è che la derivata di $f$ è continua a tratti, non continua. Qualcuno conosce questo teorema e sa se si estende anche a questo caso?
(*)Una funzione si dice regolare a tratti in un intervallo se è continua a tratti (ammette numero finito di discontinuità) e se è derivabile dove è continua, tranne al più in un numero finito di punti di non derivabilità e la derivata è continua e limitata dove esiste.
Una funzione si dice regolare a tratti in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] se è regolare a tratti in ogni intervallo contenuto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]
(Ho messo questa definizione perché non so se è universale)
Mi dice di estenderla a una funzione dispari e [tex]$2\pi$[/tex]-periodica su tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Poi mi chiede di dimostrare, senza calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier, che [tex]$\lim_{n\to + \infty} n^2b_n=0$[/tex] e che [tex]$\text{sup}_{n\geq1}n^4|b_n|=+\infty$[/tex].
Io l'ho estesa al seguente modo: [tex]$f(x)= \begin{cases} x(\pi-x) \text{ se } x \in [2k\pi,\pi+2k\pi] \\ -x(\pi-x) \text{ se } x \in [\pi+2k\pi,2\pi+2k\p] \end{cases}$[/tex]
Essendo [tex]$f$[/tex] limitata e integrabile su [tex]$[0,\pi]$[/tex], per la disuguaglianza di Bessel posso dedurre che i coefficienti [tex]$a_n$[/tex] e [tex]$b_n$[/tex] sono infinitesimi (se non sbaglio questo è detto lemma di Riemann-Lebesgue).
Inoltre, c'è un teorema che mi dice che se [tex]$f \in C^{s-1}(\mathbb{R})$[/tex] e se [tex]$D^{s-1}(f)$[/tex] è regolare a tratti (*), allora [tex]$a_n,b_n=o(n^{-s})$[/tex].
Applicando questo teorema, è facilmente dimostrato il limite, ma non riesco comunque a dimostrare che l'estremo superiore non è finito.
Inoltre, non sono sicuro di poter applicare il teorema: il fatto è che la derivata di $f$ è continua a tratti, non continua. Qualcuno conosce questo teorema e sa se si estende anche a questo caso?
(*)Una funzione si dice regolare a tratti in un intervallo se è continua a tratti (ammette numero finito di discontinuità) e se è derivabile dove è continua, tranne al più in un numero finito di punti di non derivabilità e la derivata è continua e limitata dove esiste.
Una funzione si dice regolare a tratti in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] se è regolare a tratti in ogni intervallo contenuto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]
(Ho messo questa definizione perché non so se è universale)
Risposte
Dipende da cosa s'intende per "calcolo esplicito"...
Ad esempio, anche senza fare i conti nel dettaglio, con un paio d'integrazioni per parti si vede che:
[tex]$b_n=C \int_0^\pi f(x)\ \sin nx\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{C}{n^2} \int_0^\pi f^{\prime \prime} (x)\ \sin nx\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{C}{n^2}\int_0^\pi \sin nx\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{C}{n^3}$[/tex],
(dato che [tex]$f(x)$[/tex] è un polinomio di secondo grado, si ha [tex]$f^{\prime \prime} (x)$[/tex] costante; inoltre la costante [tex]$C$[/tex] può cambiare da riga a riga) quindi le tue relazioni sono verificate.
Ad esempio, anche senza fare i conti nel dettaglio, con un paio d'integrazioni per parti si vede che:
[tex]$b_n=C \int_0^\pi f(x)\ \sin nx\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{C}{n^2} \int_0^\pi f^{\prime \prime} (x)\ \sin nx\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{C}{n^2}\int_0^\pi \sin nx\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\frac{C}{n^3}$[/tex],
(dato che [tex]$f(x)$[/tex] è un polinomio di secondo grado, si ha [tex]$f^{\prime \prime} (x)$[/tex] costante; inoltre la costante [tex]$C$[/tex] può cambiare da riga a riga) quindi le tue relazioni sono verificate.
Non so, il teso dell'esercizio non dava ulteriori spiegazioni. Specificava soltanto che non si dovevano calcolare.
In ogni caso, ti ringrazio per la risposta!
In ogni caso, ti ringrazio per la risposta!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo