Coefficienti serie di Fourier
Bunoasera, sono alle prese coi primi esercizi riguardo la serie di Fourier. Ho però dubbi particolari riguardo questo esercizio (premetto che i risultati vengono corretti, ma credo di essermi complicato la vita per niente):
Sviluppare in serie di Fourier: $2+sinx+3cos(2x)$
Il mio ragionamento è stato questo: nell'espressione di cui sopra, $n$ assume i valori 1 (in sinx) e 2 (in 3cos(2x)), dunque sarà in loro funzione (oltre a n=0 per vedere come "parte") che studierò la questione. Ho usato le solite formule:
$a_0=1/piint_0^(2pi)f(x)dx =4$
$a_n=1/piint_0^(2pi)f(x)cos(nx)dx = { ( 4, n=0 ),( 0, n=1 ),( 3, n=2 ):}$
$b_n=1/piint_0^(2pi)f(x)sin(nx)dx = { ( 0, n=0 ),( 1, n=1 ),( 0, n=2 ):}$
Ora... controllando le soluzioni, i conti tornano, tuttavia il metodo è completamente diverso. L'esercizio dice (cito testualmente):
"Il polinomio è trigonometrico. Dunque, confrontando:"
$2+sinx+3cos(2x)=a_0/2+sum_(n=0)^ooa_ncos(nx)+b_nsin(nx)$
... restituisce immediatamente i miei due sistemi, senza fare alcun conto. Cosa mi sono perso?
Grazie!
Sviluppare in serie di Fourier: $2+sinx+3cos(2x)$
Il mio ragionamento è stato questo: nell'espressione di cui sopra, $n$ assume i valori 1 (in sinx) e 2 (in 3cos(2x)), dunque sarà in loro funzione (oltre a n=0 per vedere come "parte") che studierò la questione. Ho usato le solite formule:
$a_0=1/piint_0^(2pi)f(x)dx =4$
$a_n=1/piint_0^(2pi)f(x)cos(nx)dx = { ( 4, n=0 ),( 0, n=1 ),( 3, n=2 ):}$
$b_n=1/piint_0^(2pi)f(x)sin(nx)dx = { ( 0, n=0 ),( 1, n=1 ),( 0, n=2 ):}$
Ora... controllando le soluzioni, i conti tornano, tuttavia il metodo è completamente diverso. L'esercizio dice (cito testualmente):
"Il polinomio è trigonometrico. Dunque, confrontando:"
$2+sinx+3cos(2x)=a_0/2+sum_(n=0)^ooa_ncos(nx)+b_nsin(nx)$
... restituisce immediatamente i miei due sistemi, senza fare alcun conto. Cosa mi sono perso?
Grazie!
Risposte
Ti sei perso il fatto che la funzione è già espressa in serie di Fourier, così come un polinomio $2+x+3x^2$ è già espresso in serie di potenze centrata in $0$...
Chiedo scusa, rileggendo mi sono accorto di non essere stato chiaro. Mi rendo conto che l'espressione è già in serie di Fourier, quel di cui volevo accertarmi è se quei sistemi vengono solo da considerazioni "evidenti" (tipo che $a_n, n->0$ diventa l'$a_0$ che ho calcolato e dunque 4), oppure se fossero il risultato di semplici sostituzioni o comunque passaggi matematici diversi dai miei, magari più snelli.
Grazie per la risposta.
Grazie per la risposta.
La soluzione del testo è immediata (non serve far conti) e deriva dal fatto che la funzione è già espressa in serie nonché dall’unicità dei coefficienti.
"Silence":
$2+sinx+3cos(2x)=a_0/2+sum_(n=0)^ooa_ncos(nx)+b_nsin(nx)$
Sono molto convinto che la serie debba partire da $n=1$: infatti sono stato 10 minuti buoni a disperarmi sul perché non si confrontasse, per $n=0$, così
$$\frac{a_0}{2}+a_0=2\Leftrightarrow a_0=\frac{4}{3}$$
Mentre invece, se la serie partisse da $n=1$ (come deve essere, altrimenti non ha senso), si avrebbe che il termine per $n=0$ è dato solo da $\frac{a_0}{2}=2\Leftrightarrow a_0=4$.
Morale della favola: non farmi prendere questi colpi in piena notte a due settimane dall'esame su 'sta roba
(sono ironico ovviamente, esercizio carino! 
)
Vabbè, stai a guardare il capello...
Grazie a entrambi per le risposte. Giusto per completezza, allego un'immagine della soluzione esattamente come è riportata nella sua interezza:
Desolato per il panico notturno!
Desolato per il panico notturno!
La sommatoria parte da $n=1$, come giustamente notato da Mephlip.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo