Coefficienti di Fourier

[bimbozza]

Qualcuno sà calcolare i coefficienti della serie di Fourier di

[math]\1/(x^4+1)[/math]

con x \in [-\pi,\pi]? Conosco le formule da applicare ma quando svolgo l'integrale, essendo una funzione fratta, peggiora sempre di più e non riesco a concludere...

Aggiunto 3 ore 47 minuti più tardi:

I teorema dei residui non fa parte del programma d'esame. Dovrei calcolare i coefficienti per la serie reale.

Aggiunto 6 ore 34 minuti più tardi:

Le formule son quelle, ma fai pure con calma...

[ciampax]

Non è in effetti la cosa più semplice da calcolare. Stai usando la serie di Fourier reale o quella complessa? Che tecniche di calcolo conosci? In questo esercizio potrebbe essere "semplice" usare il teorema dei residui, ma dipende se è una strada che conosci o meno.

Aggiunto 3 ore 52 minuti più tardi:

Quindi con le formule di contrazione? Cioè queste

[math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x )\ cos(nx )\ dx,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x )\ sin(nx )\ dx[/math]

Mmmmmmm.... la vedo complicata. Ci penso su e ti faccio sapere.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Dunque, per prima cosa alcune osservazioni: la funzione

[math]f(x)=\frac{1}{1+x^4}[/math]

è pari sull'intervallo

[math][-\pi,\pi][/math]

: ne segue che

[math]f(x)\cos(nx)[/math]

è pari

[math]f(x)\sin(nx)[/math]

è dispari

e quindi, da una nota proprietà, segue che

[math]b_n=0[/math]

: infatti

[math]\int_{-a}^a g(x)\ dx=0[/math]

se

[math]g(x)[/math]

è dispari.

Restano da calcolare i coefficienti

[math]a_n[/math]

: per essi possiamo osservare che

[math]a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\cos(nx)}{1+x^4}\ dx[/math]

per una nota proprietà degli integrali di funzioni pari.

A questo punto però devo ancora capire come affrontare il calcolo degli

[math]a_n[/math]