Coefficienti della serie di Fourier

[gygabyte017]

Non riesco a capire un passaggio nella dimostrazione dei coefficienti della serie di Fourier... Sul libro dice:

supponiamo che $f(x)$ converga uniformemente a $a_0/2 + sum_(k=1)^(oo) (a_k coskx + b_k sinkx)$.

Calcoliamo quindi:

$int_(-pi)^(pi) f(x) cos mx dx = a_0/2 int_(-pi)^(pi)cosmxdx + sum_(k=1)^(oo) (a_k int_(-pi)^(pi) coskxcosmxdx + b_k int_(-pi)^(pi) sinkxcosmxdx)$

Risulta: $int_(-pi)^(pi)cosmxdx = 0$ [ok]

Risulta: $int_(-pi)^(pi) sinkxcosmxdx) = 0$ [ok]

Risulta: $int_(-pi)^(pi) coskxcosmxdx = {(0 " se " m!=k),(pi " se " m=k):}$ [ok]


Conclude che quindi $a_k = 1/(pi) int_(-pi)^(pi) f(x) cos kx dx$

Ma a me l'ultimo conto non torna. Supponendo che stia facendo il caso $m=k$, a me risulta che :

$ int_(-pi)^(pi) f(x) cos kx dx = 0 + sum_(k=1)^(oo) (a_k * pi + 0) = pi * sum_(k=1)^(oo) a_k$

non capisco, cosa non sto vedendo? sembra un fatto ovvio...

[gugo82]

Pensa per un attimo ai vettori di $RR^3$ col prodotto scalare standard $\circ$.

Metti che $x=\sum_(k=1)^3a_k*"e"_k$, dove $"e"_1,"e"_2,"e"_3$ sono la base canonica; moltiplicando scalarmente ambo i membri per $"e"_2$ trovi:

$x\circ "e"_2=\sum_(k=1)^3a_k"e"_k\circ "e"_2 \quad$;

visto che:

$"e"_k\circ "e"_2=\{(0, ", se " k!=2),(1, ", se " k=2):}$

il secondo membro della precedente diventa $a_1*0+a_2*1+a_3*0=x_2$, quindi $x\circ "e"_2=a_2$.
Analogamente, se prendi $"e"_m$ e fai la stesso procedimento trovi:

$x\circ "e"_m=\sum_(k=1)^3a_k"e"_k\circ "e"_m \quad$ con $\quad "e"_k\circ "e"_m=\{(0, ", se " k!=m),(1, ", se " k=m):}$

quindi $x\circ "e"_m=a_m*"e"_m\circ "e"_m+(0+0)=a_m*1+(0+0)=a_m$.

Ora, nel caso che hai tu sotto mano, stai facendo la stessa cosa, solo con le seguenti differenze:

- hai il prodotto scalare $\circ$ definito con un integrale (ossia $f(x)\circ g(x)=\int_(-pi)^pi f(x)*g(x)" d"x$);
- hai una base ortogonale "infinita" (fatta da seni e coseni);
- il valore del prodotto scalare su una coppia di vettori appartenenti alla base "infinita" o è $0$ o è $pi$ (invece che $0$ o $1$ come prima);

allora ragionando per analogia col caso precedente dovrebbe esser chiaro che:

$\int_(-pi)^pi f(x) cosmx " d"x=f(x)\circ cosmx =a_m*cosmx \circ cosmx +(0+0+\ldots +0+\ldots)=pi a_m =>$

$\quad => a_m=1/pi \int_(-pi)^pi f(x) cosmx " d"x$.