Coefficienti binomiali negativi

[jitter1]

Sto seguendo un corso del coursera. Il prof sta spiegando come trovare lo sviluppo di taylor per alcune funzioni, per esempio per $(1 + x)^a$, che scrive come sommatoria di .... [scusate ma dov'è finito il link per aprile le formule... non lo trovo più, che guaio]... insomma usa quella formula con i coefficienti binomiali. Poi dice che la formula si estende a un $a$ qualsiasi. Ho provato a fare un esercizio in cui l'esponente $a$ è negativo: in quel caso mi compare un numero negativo dentro il coefficiente binomiale... E' così? Come si fa? Ho trovato su wikipedia un'estensione della definizione di coefficiente binomiale, ma non riesco ad applicarla con i negativi, mentre con i frazionari mi torna.

[lordb]

Ciao,
è molto semplice:

$((n),(k))=(n*(n-1)*...*(n-k+1))/(k!)$

Esempio:

$((-7/5),(2))=(-7/5*(-7/5-1))/(2!)=(84/25)/(2)=42/25$

[jitter1]

Quindi funziona allo stesso modo, grazie Lordb

[lordb]

Di niente,
ricorda solo che in questo caso non si può utilizzare la formula:

$((n),(k))=(n!)/(k!*(n-k)!)$ da cui,peraltro, si ricava quella sopra.

Il motivo è evidente: il fattoriale è definito unicamente per numeri naturali = interi positivi.

[jitter1]

Scusami, un'ultima cosa. Se voglio applicare il teorema del binomio (http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_bi ... e_generale)
quando $n$ è negativo, svolgendo la sommatoria come posso andare da k (positivo) ad $n$? Procedo all'indietro?

p.s. eh no, verrebbe k! con negativo, non va bene....

[lordb]

Ciao,
non credo di aver capito bene cosa intendi.

Comunque credo che questo esempio sia sufficiente per chiarire le idee:

Sviluppiamo in serie di potenze $ 1/sqrt(1+x)$.

Allora, come sai la formula è: $(1+x)^(alpha)=sum_(k=0)^(n)((alpha),(k))x^k+o(x^n)_(x->0)$.

Ma $1/sqrt(1+x)=(1+x)^(-1/2)$ quindi (pongo $n=3$ per esempio):

$(1+x)^(-1/2)=((-1/2),(0))x^0+((-1/2),(1))x^1+((-1/2),(2))x^2+((-1/2),(3))x^3 + o(x^3)_(x->0)$

$(1+x)^(-1/2)=1-1/2x+((-1/2),(2))x^2+((-1/2),(3))x^3 + o(x^3)_(x->0)$

Calcoliamo i coefficienti binomiali:

$((-1/2),(2))=(-1/2*(-1/2-1))/(2!)=3/8$

$((-1/2),(3))=(-1/2*(-1/2-1)*(-1/2-2))/(3!)=-5/16$

Sostituendo:

$(1+x)^(-1/2)=1-1/2x+3/8x^2-5/16x^3 + o(x^3)_(x->0)$

[jitter1]

Ahh, continuavo a sbagliare ad applicare la formula! Mi hai illuminato, Lordb!

[lordb]

E' stato un piacere

[olanda2000]

$(1+x)^(-1/2)=((-1/2),(0))x^0+((-1/2),(1))x^1+((-1/2),(2))x^2+((-1/2),(3))x^3 + o(x^3)_(x->0)$

$(1+x)^(-1/2)=1-1/2x+((-1/2),(2))x^2+((-1/2),(3))x^3 + o(x^3)_(x->0)$
________________________________________

perchè il primo coeff. binomiale generalizzato vale 1? Applicando la formula verrebbe -1

Grazie

[dissonance]

Si pone
\[
\binom{\text{qualsiasi cosa}}{0}=1\]
per convenzione.

[Obidream]

Mi sa che si può far vedere che è $1$ usando la funzione Gamma:

$((x),(y)) = \(Gamma(x+1))/(\Gamma(y+1)\Gamma(x - y + 1))$

Con $y = 0$

$((x),(0)) = \(Gamma(x+1))/(\Gamma(1)\Gamma(x + 1)) = 1$