Coefficiente di dilatazione lineare

[vrek]

Ciao a tutti, devo risolvere un problema relativo a quanto in oggetto:

l'integrale definito da risolvere è questo

INT 2e^(senx+xcosx) dx (esteso da 0 a x)

che alla fine dà come risultato 2e^(xsenx)

Ho provato in vari modi ma senza successo.

Grazie

[professorkappa]

1. Il titolo del post e' sbagliato.
2. Sei nella sezione sbagliata.
3. La soluzione o l'integrale dato sono sbagliati.
4. Sbagli a non usare l'editor

[Palliit]

Sposto. Ma il titolo del post c'entra meno dei cavoli a merenda, che con un po' di sforzo e bocca buona ci potrebbero sempre stare.

[pilloeffe]

Ciao vrek,

Benvenuto/a sul forum!

Anche se il tuo esordio in effetti non è stato fra i migliori che ho visto, puoi rimediare...

L'unica cosa che mi è venuta in mente per provare ad aiutarti è che affinché il risultato sia quello che sostieni, deve essere così:

$ 2 + int_0^x 2e^{t sin t} (sin t + t cos t) dt = 2 e^{x sin x} $

$ 2 + int_0^x 2e^{t sin t} (sin t + t cos t) dt = 2 e^{x sin x} $

ed il motivo è che se così fosse l'integrale sarebbe del tipo seguente:

$ int e^{f(t)} f'(t) dt = e^{f(t)} + c $

$ int e^{f(t)} f'(t) dt = e^{f(t)} + c $ 

Quindi:

$ int_0^x 2e^{t sin t} (sin t + t cos t) dt = [2 e^{t sin t}]_0^x = 2 e^{x sin x} - 2 $

 $ int_0^x 2e^{t sin t} (sin t + t cos t) dt = [2 e^{t sin t}]_0^x = 2 e^{x sin x} - 2 $ 

[vrek]

Prima di tutto scusatemi, non sono avvezzo a questi forum, per me è la prima volta: non sono neanche uno studente, ma semplicemente una persona di quasi 54 anni sche studia matematica solo per passione.

Per evitare ulteriori cavolate da parte mia, vi evidenzio a parole il problema.

- Il coeff. di dilatazione termica di una sbarra di metallo, alla temperatura x, è senx+xcosx;
- la lunghezza della sbarra, alla temperatura x=0, è di 2 metri;
- si chiede la lunghezza della sbarra alla temperatura x.

Ho già affrontato il tema della dilatazione termica con le derivate, in cui il rapporto tra la derivata prima della lunghezza e la lunghezza stessa è appunto pari alla dilatazione, invece in questo caso cercando sul testo di cui mi sto avvalendo (Complementi di Matematica - Zwirner) e sul web ho trovato che la lunghezza di una sbarra è uguale al prodotto tra la sua lunghezza iniziale ed il numero di nepero "e" elevato alla dilatazione in funzione della variazione di temperatura, da cui nasce l'integrale definito che ho proposto inizialmente, in modo senz'altro errato.

Perdonatemi.

Grazie

[pilloeffe]

"vrek":non sono neanche uno studente, ma semplicemente una persona di quasi 54 anni sche studia matematica solo per passione.

Beh, l'età non è un problema, o per lo meno se lo fosse lo sarebbe anche per me...

Veniamo alla questione.
Il coefficiente di dilatazione lineare di una sbarra alla temperatura $t $ si può definire nel modo seguente:

$c(t) := frac{L'(t)}{L(t)} $

ove, nel tuo caso, $c(t) := sint + t cos t $, per cui si ha:

$ int_0^x (sint + t cos t) dt = int_0^x frac{dL(t)}{L(t)} = [lnL(t)]_0^x = ln[frac{L(x)}{L(0)}] $

ove $ L(0) = L_0 = 2 m $

Dato che $ int_0^x (sint + t cos t) dt = x sin x \implies x sin x = ln[frac{L(x)}{L(0)}] $, in definitiva si ha:

$ L(x) = L_0 e^{x \sin x} $

Più in generale si ha:

\begin{equation*}
\boxed{L(x) = L(0) e^{\int_0^x c(t) dt} = L_0 e^{\int_0^x c(t) dt}}
\end{equation*}

[vrek]

Grazie! Ho capito.
Gentilissimo.