Coefficiente della serie
Come faccio a trovare $a_3$ se $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n=\frac{e^{3n}-1}{z}$
Risposte
Presumo che $\frac{e^{3n}-1}{z}$ in realtà sia $\frac{e^{3z}-1}{z}$. Comunque
\[
\frac{e^{3z}-1}{z}=\frac{1+(3z)+\frac{(3z)^2}{2}+\frac{(3z)^3}{3!}+\frac{(3z)^4}{4!}+\ldots-1}{z}=3+\frac{9}{2}z+\frac{9}{2}z^2+\frac{27}{8}z^3+\ldots
\]
quindi $a_3=27/8$.
\[
\frac{e^{3z}-1}{z}=\frac{1+(3z)+\frac{(3z)^2}{2}+\frac{(3z)^3}{3!}+\frac{(3z)^4}{4!}+\ldots-1}{z}=3+\frac{9}{2}z+\frac{9}{2}z^2+\frac{27}{8}z^3+\ldots
\]
quindi $a_3=27/8$.
Ah devo usare Taylor! Ho capito, grazie!
Se invece ho $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n=\frac{1}{1-5z^2}$ pongo $5z^2$ così mi riconduco alla serie $x^n$, come proseguo per trovare $a_4$?
Se invece ho $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n=\frac{1}{1-5z^2}$ pongo $5z^2$ così mi riconduco alla serie $x^n$, come proseguo per trovare $a_4$?
Se consideri la serie geometrica di ragione $5z^2$ ottieni
\[
\frac{1}{1-5z^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(5z^2)^n=1+5z^2+25z^4+\ldots
\]
dunque $a_4=25$.
\[
\frac{1}{1-5z^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(5z^2)^n=1+5z^2+25z^4+\ldots
\]
dunque $a_4=25$.
$a_4$ non indica l'elemento di posto 4? Quindi non dovrebbe essere $125^2$? Visto che la serie va come
$1+5z^2+25z^4+125z^6+125^2z^8$+...
$1+5z^2+25z^4+125z^6+125^2z^8$+...
\[
\frac{1}{1-5z^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n z^n=a_0z^0+a_1z^1+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4+\ldots=1+0 z+5z^2+0 z^3+25z^4+\ldots
\]
dunque $a_0=1$, $a_1=0$, $a_2=5$, $a_3=0$, $a_4=25$ etc...
\frac{1}{1-5z^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n z^n=a_0z^0+a_1z^1+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4+\ldots=1+0 z+5z^2+0 z^3+25z^4+\ldots
\]
dunque $a_0=1$, $a_1=0$, $a_2=5$, $a_3=0$, $a_4=25$ etc...
Scusa perchè i coefficienti dispari sono nulli?
Allora... tu vuoi scrivere la funzione $\frac{1}{1-5z^2}$ come serie di potenze, cioè
\[
\frac{1}{1-5z^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n z^n=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4+\ldots.
\]
Tu gli $a_n$ non li conosci, però sai che
\[
\frac{1}{1-5z^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(5z^2)^n=1+5z^2+25z^4+\ldots
\]
Come puoi vedere in quest'ultima espressione compaiono solo le potenze pari con i coefficienti $1$, $5$, $25$, etc. mentre le potenze dispari non compaiono.
Dunque se tu vuoi uguagliare quest'ultima espressione (che non contiene potenze dispari) all'espressione $a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4+\ldots$, devi porre uguale a zero $a_1$, $a_3$ e tutti i gli altri coefficienti dispari, e porre $a_0=1$, $a_2=5$, $a_4=25$ etc. altrimenti non ottieni l'uguaglianza tra le due espressioni.
\[
\frac{1}{1-5z^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n z^n=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4+\ldots.
\]
Tu gli $a_n$ non li conosci, però sai che
\[
\frac{1}{1-5z^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(5z^2)^n=1+5z^2+25z^4+\ldots
\]
Come puoi vedere in quest'ultima espressione compaiono solo le potenze pari con i coefficienti $1$, $5$, $25$, etc. mentre le potenze dispari non compaiono.
Dunque se tu vuoi uguagliare quest'ultima espressione (che non contiene potenze dispari) all'espressione $a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4+\ldots$, devi porre uguale a zero $a_1$, $a_3$ e tutti i gli altri coefficienti dispari, e porre $a_0=1$, $a_2=5$, $a_4=25$ etc. altrimenti non ottieni l'uguaglianza tra le due espressioni.
Se invece di $5z^2$ avessi avuto $5z^3$ sarebbero comparsi solo i coefficienti dispari, quindi $a_0=1$, $a_1=5$, $a_2=125$ etc?
A parte il fatto che i coefficienti dispari sono $a_1,a_3,a_5,\ldots$, la risposta è no! Con $5z^3$ avresti avuto
\[
\frac{1}{1-5z^3}=\sum_{n=0}^{+\infty}(5z^3)^n=1+5z^3+25z^6+125z^9+\ldots.
\]
Dunque sarebbe $a_0=1$, $a_1=0$, $a_2=0$, $a_3=5$, $a_4=0$, $a_5=0$, $a_6=25$, $a_7=0$, $a_8=0$, $a_9=125$ etc.
Tutti i coefficienti con l'indice che non è un multiplo di tre sarebbero nulli (così come prima lo erano quelli che non erano multipli di due, ovvero i dispari). Se avessi $5z^4$ sarebbero nulli tutti i coefficienti con l'indice non multiplo di quattro.
\[
\frac{1}{1-5z^3}=\sum_{n=0}^{+\infty}(5z^3)^n=1+5z^3+25z^6+125z^9+\ldots.
\]
Dunque sarebbe $a_0=1$, $a_1=0$, $a_2=0$, $a_3=5$, $a_4=0$, $a_5=0$, $a_6=25$, $a_7=0$, $a_8=0$, $a_9=125$ etc.
Tutti i coefficienti con l'indice che non è un multiplo di tre sarebbero nulli (così come prima lo erano quelli che non erano multipli di due, ovvero i dispari). Se avessi $5z^4$ sarebbero nulli tutti i coefficienti con l'indice non multiplo di quattro.
Ah ecco! Ora ho capito!
Ti ringrazio
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