Coefficenti serie di Fourier (risoluzione integrali)
Salve,
ho dei problemi a risolvere questa semplice serie di Fourier ( legenda pi= pi greca)
f(x) = { cos x se (2k-1) pi <= x < 2kpi -1 se 2kpi
ricordo che i coefficenti della serie di fourier sono csì definiti:
Ao = 1/pi * integrale da -pi a pi di f(x) dx
Ak = 1/pi * integrale da -pi a pi di f(x) cos kx dx
Bk = 1/pi * integrale da -pi a pi di f(x) sen kx dx
vorrei innanzitutto capire perchè l'integrale si trasforma in due integrali uno da -pi a 0 e l'altro da 0 a pi ....
grazie in anticipo...
ho dei problemi a risolvere questa semplice serie di Fourier ( legenda pi= pi greca)
f(x) = { cos x se (2k-1) pi <= x < 2kpi -1 se 2kpi
ricordo che i coefficenti della serie di fourier sono csì definiti:
Ao = 1/pi * integrale da -pi a pi di f(x) dx
Ak = 1/pi * integrale da -pi a pi di f(x) cos kx dx
Bk = 1/pi * integrale da -pi a pi di f(x) sen kx dx
vorrei innanzitutto capire perchè l'integrale si trasforma in due integrali uno da -pi a 0 e l'altro da 0 a pi ....
grazie in anticipo...
Risposte
Potrebbe essere dovuto alla parità della funzione da sviluppare in serie.
Perché la funzione che vuoi sviluppare in serie di Fourier è data dalla replica periodica (di periodo $2pi$) di una funzione generatrice che in $(-pi,0)$ ha una certa espressione e in $(0,pi)$ un'altra.
ok!
qualcuno potrebbe risolverlo?
grazie in anticipo.
qualcuno potrebbe risolverlo?
grazie in anticipo.
Non è che nessuno vuole risolverlo... però, data l'estrema semplicità della cosa, potresti anche tentarci tu no? Le formule che hai scritto per il calcolo dei coefficienti sono tutte esatte eccetto che per un piccolissimo particolare (nel calcolo di $a_0$ devi dividere per $2$). Applica quelle formule... vedrai che è davvero un esercizio banale...
ok, vi faccio sapere....
comunque, non è che non ho voglia... anzi ho voglia di imparare.... ma ho delle lacune sugli integrali.... comunque ci provo....
comunque, non è che non ho voglia... anzi ho voglia di imparare.... ma ho delle lacune sugli integrali.... comunque ci provo....
Bravo, questa è la mentalità giusta! 
allora, per quanto concerne Ao
Ao= 1/2pi ( integrale da -pi a 0 di cos x dx + integrale da 0 a pi di -1 dx) =
= 1/2pi ( sen x ]da -pi a 0 + -x] da 0 a pi ) =
adesso però non sò più andare avanti....
=1/2pi ( il primo dovrebbe essere 0 - sen pi + il secondo -pi + 0) penso però ci sia qualcosa di sbagliato...
Ao= 1/2pi ( integrale da -pi a 0 di cos x dx + integrale da 0 a pi di -1 dx) =
= 1/2pi ( sen x ]da -pi a 0 + -x] da 0 a pi ) =
adesso però non sò più andare avanti....
=1/2pi ( il primo dovrebbe essere 0 - sen pi + il secondo -pi + 0) penso però ci sia qualcosa di sbagliato...
Noiosi, gli integrali: $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 \cos(x) dx - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi dx = -1$, poiché il primo contributo a ultimo membro è nullo. Se poi $n \ge 1$ è un intero, dalle formule di Werner: $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{\-pi}^0 cos(x) cos(nx) dx - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi cos(nx) dx $ $= \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi (cos((n-1)x) + cos((n+1)x)) dx$. Dunque $a_1 = \frac{1}{2}$ ed $a_n = 0$, se $n \ge 2$. In modo analogo: $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) sin(nx) dx $ $= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 cos(x) sin(nx) dx - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi (sin((n-1)x) - sin((n+1)x)) dx - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi sin(nx) dx = ...$
bòò sinceramente non l'ho capito.... mi potresti spiegare un pò meglio il calcolo di $a_0??
per esempio il primo integrale da -pi a 0 di cos x non è = sen x ] da 0 a -pi ?? questo quanto vale?
mentre il secondo integrale definito come integrale da 0 a pi di -1 dovrebbe essere -x ] da 0 a pi....
un dubbio:
sen pi o sen -pi quanto vale??
invece
cos pi o cos -pi ??
grazie in anticipo ed auguri di Buon Anno
per esempio il primo integrale da -pi a 0 di cos x non è = sen x ] da 0 a -pi ?? questo quanto vale?
mentre il secondo integrale definito come integrale da 0 a pi di -1 dovrebbe essere -x ] da 0 a pi....
un dubbio:
sen pi o sen -pi quanto vale??
invece
cos pi o cos -pi ??
grazie in anticipo ed auguri di Buon Anno
up! 
$\sin(\pi)=\sin(-\pi)=0$
$\cos(0)=-\cos(\pi)=-\cos(-\pi)=1$
$\cos(0)=-\cos(\pi)=-\cos(-\pi)=1$
"pippuzzo80":
bòò sinceramente non l'ho capito.... mi potresti spiegare un pò meglio il calcolo di $a_0??
per esempio il primo integrale da -pi a 0 di cos x non è = sen x ] da 0 a -pi ?? questo quanto vale?
mentre il secondo integrale definito come integrale da 0 a pi di -1 dovrebbe essere -x ] da 0 a pi....
Il coefficiente $a_0$ della serie di Fourier di un segnale periodico è molto importante, in quanto è pari al valore della media temporale del segnale. Tale coefficiente $a_0$ è anche detto "componente continua" del segnale. DavidHilbert ha mostrato il calcolo di tale coefficiente calcolando l'area su un periodo e dividendo per il periodo stesso... c'è solo un lievissimo errore: il risultato va diviso ulteriormente per $2$ dato che il periodo del segnale è $2pi$.
"Kroldar":
Il coefficiente $a_0$ della serie di Fourier di un segnale periodico è molto importante [...] DavidHilbert ha mostrato il calcolo di tale coefficiente calcolando l'area su un periodo e dividendo per il periodo stesso... c'è solo un lievissimo errore: il risultato va diviso ulteriormente per $2$ dato che il periodo del segnale è $2pi$.
Scusa se insisto, Kroldar, ma la formula è corretta: $a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos(\frac{2n\pi}{T} x) dx$, per ogni $n \in \mathbb{N}$, se $f$ è $T$-periodica e sono soddisfatte tutte le ipotesi del caso atte a garantirne la sviluppabilità in serie di Fourier secondo la relazione $f(x) ~ a_0/2 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(\frac{2n\pi}{T} x) + \sum_{n = 1}^\infty b_n \sin(\frac{2n\pi}{T} x)$.
Tutto a posto allora... io sono stato abituato a chiamare $a_0$ ciò che tu chiami $a_0/2$ 
grazie... adesso mi è un pò più chiaro, soprattutto il calcolo di Ao, ho ancora diversi dubbi sul calcolo di Ak, Bk, forse perchè non sò calcolare l'integrale di cosx coskx e l'integrale di cos x senkx... qualcuno potrebbe spiegarmelo in dettaglio?? DavidHilbert l'ha risolto, però non ho capito in che modo... sicuramente avrà applicato qualche proprietà che non conosco....
a proposito sapreste indicarmi un buon sito dove è possibile ripassare le principali proprietà sui seni e coseni utili per il calcolo della serie di Fourier
grazie in anticipo
a proposito sapreste indicarmi un buon sito dove è possibile ripassare le principali proprietà sui seni e coseni utili per il calcolo della serie di Fourier
grazie in anticipo
allora... per il calcolo di a_k ho capito che si devono utilizzare le formule di werner perchè abbiamo cosx * coskx
in questo caso diventano integrale da -pi a 0 di cos(1-k)x + cos(1+k)x ...
ma a questo punto l'integrale di questo come si ottiene? qualcuno potrebbe aiutarmi???
grazie in anticipo
in questo caso diventano integrale da -pi a 0 di cos(1-k)x + cos(1+k)x ...
ma a questo punto l'integrale di questo come si ottiene? qualcuno potrebbe aiutarmi???
grazie in anticipo
up!!!
qualcuno potrebbe aiutarmi!!!!
qualcuno potrebbe aiutarmi!!!!
"pippuzzo80":
qualcuno potrebbe aiutarmi!!!!
E che ne dici di prendere appena il libro in mano, scorrere la tabella degli integrali elementari e scoprire che $\int \cos(\alpha x) dx = \frac{1}{\alpha} \sin(\alpha x) + cost.$, per $\alpha \in RR\setminus\{0\}$?
quindi se ho capito bene...
$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) sin(nx) dx $ $= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 cos(x) sin(nx) dx - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi sin(nx) dx = \frac{1}{\2pi} \int_0^\pi (sin((n-1)x) - sin((n+1)x)) dx - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi sin(nx) dx = \frac{1}{\2pi} (-frac {cos ((n-1)x)}{(n-1)}-frac{cos((n+1)x)}{n+1}) da 0 a -\pi - \frac{1}{\pi} (- frac{ cos (nx)}{n}) da \pi a 0 $
$= \frac{1}{\2pi} (- frac {1}{n-1} - frac{1}{n+1} + frac {cos (n-1)\-pi} {n-1} + frac {cos (n+1)\-pi}{(n+1) })- \frac{1}{\pi}(-frac{cos n\pi}{n}-frac{1}{n})$
e dopo come procedo ?? si dovrebbero distinguere i casi quando n è pari o dispari.... o sbaglio?
$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) sin(nx) dx $ $= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 cos(x) sin(nx) dx - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi sin(nx) dx = \frac{1}{\2pi} \int_0^\pi (sin((n-1)x) - sin((n+1)x)) dx - \frac{1}{\pi} \int_0^\pi sin(nx) dx = \frac{1}{\2pi} (-frac {cos ((n-1)x)}{(n-1)}-frac{cos((n+1)x)}{n+1}) da 0 a -\pi - \frac{1}{\pi} (- frac{ cos (nx)}{n}) da \pi a 0 $
$= \frac{1}{\2pi} (- frac {1}{n-1} - frac{1}{n+1} + frac {cos (n-1)\-pi} {n-1} + frac {cos (n+1)\-pi}{(n+1) })- \frac{1}{\pi}(-frac{cos n\pi}{n}-frac{1}{n})$
e dopo come procedo ?? si dovrebbero distinguere i casi quando n è pari o dispari.... o sbaglio?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo