Codominio funzioni a più variabili
Ho un problema nel capire la ricerca del codominio funzioni a più variabili:
Esercizi del 'De Michele-Forti':
ad esempio:
$z=2x -5y$
il dominio è: tutto $RR^2$, il risultato mi dice che è tutto $RR^2$ anche per il codominio, ma come?
problemi anche con:
$z=xy/(x^2 +y^2)$
il dominio:
$RR^2 -{(0,0)}$
per trovare il codominio pongo:
$x=y$: $z=1/2$
mentre:
$x=-y$: $z=-1/2$
e quindi: $-1/2 <= z <= 1/2$ in accordo al risultato, ma non sono sicuro al massimo che il ragionamento sia questo, perchè non è generale ed è troppo ad hoc.
Esercizi del 'De Michele-Forti':
ad esempio:
$z=2x -5y$
il dominio è: tutto $RR^2$, il risultato mi dice che è tutto $RR^2$ anche per il codominio, ma come?
problemi anche con:
$z=xy/(x^2 +y^2)$
il dominio:
$RR^2 -{(0,0)}$
per trovare il codominio pongo:
$x=y$: $z=1/2$
mentre:
$x=-y$: $z=-1/2$
e quindi: $-1/2 <= z <= 1/2$ in accordo al risultato, ma non sono sicuro al massimo che il ragionamento sia questo, perchè non è generale ed è troppo ad hoc.
Risposte
Ciao. La soluzione del primo esercizio è palesemente errata errore di stampa... Quanto al resto, non mi è mai capitato di dover determinare il codominio* di una funzione di più variabili, ma penso che, come nel caso unidimensionale, non ci sia un "procedimento standard".
PS. (*) L'insieme che stai cercando di determinare viene più spesso chiamato Immagine della funzione, non codominio...poi dipende dalle definizioni...
errore di stampa... Quanto al resto, non mi è mai capitato di dover determinare il codominio* di una funzione di più variabili, ma penso che, come nel caso unidimensionale, non ci sia un "procedimento standard".PS. (*) L'insieme che stai cercando di determinare viene più spesso chiamato Immagine della funzione, non codominio...poi dipende dalle definizioni...
guarda qui:
http://****/92L6T
non scrive il 'modo' con cui è arrivato a scrivere quel codominio. Quello di aver scelto le bisettrici, per trovarmi $1/2$ e $-1/2$ ci sono andato un pò per ricordo di un esercizio che faceva riferimento all'analisi qualitativa del grafico di tale funzione (si trova sullo sbordone). Sono esercizi che a lezione non vanno mai fatti, però vorrei capirli, anche per cultura personale....
-----
l'altro esercizio l'ho preso da un pdf online, riporto solo l'esercizio:
lettera (a):
http://****/92MMN
http://****/92L6T
non scrive il 'modo' con cui è arrivato a scrivere quel codominio. Quello di aver scelto le bisettrici, per trovarmi $1/2$ e $-1/2$ ci sono andato un pò per ricordo di un esercizio che faceva riferimento all'analisi qualitativa del grafico di tale funzione (si trova sullo sbordone). Sono esercizi che a lezione non vanno mai fatti, però vorrei capirli, anche per cultura personale....
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l'altro esercizio l'ho preso da un pdf online, riporto solo l'esercizio:
lettera (a):
http://****/92MMN
E che è sta roba? 
sicuro di non aver sbagliato link? 
EDIT: non capisco cosa sia successo
ora mi ha mandato all'indirizzo giusto, ci ho cliccato di nuovo. La prima volta mi ha mostrato un video intitolato "come guadagnare 287 euro in 16 minuti"
EDIT$_2$: l'ha fatto di nuovo con il secondo link! BAH...
sicuro di non aver sbagliato link? EDIT: non capisco cosa sia successo
ora mi ha mandato all'indirizzo giusto, ci ho cliccato di nuovo. La prima volta mi ha mostrato un video intitolato "come guadagnare 287 euro in 16 minuti" EDIT$_2$: l'ha fatto di nuovo
con il secondo link! BAH...
Ciao. La tua funzione si può riscrivere così:
a) [tex]z=\frac{1}{2}\cdot \frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2+y^2+2xy-x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot\left ( \frac{(x+y)^{2}}{x^2+y^2}-1 \right )[/tex]__oppure:
b) [tex]z=\frac{1}{2}\cdot \frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2+y^2+2xy-x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot\left ( 1- \frac{(x-y)^{2}}{x^2+y^2} \right )[/tex]__;
in entrambi i casi la frazione entro parentesi è $>=0$, per cui da (a) deduci che è sempre $z>=-1/2$, da (b) che è sempre $z<=1/2$.
a) [tex]z=\frac{1}{2}\cdot \frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2+y^2+2xy-x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot\left ( \frac{(x+y)^{2}}{x^2+y^2}-1 \right )[/tex]__oppure:
b) [tex]z=\frac{1}{2}\cdot \frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2+y^2+2xy-x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot\left ( 1- \frac{(x-y)^{2}}{x^2+y^2} \right )[/tex]__;
in entrambi i casi la frazione entro parentesi è $>=0$, per cui da (a) deduci che è sempre $z>=-1/2$, da (b) che è sempre $z<=1/2$.
Dici i link con la pubblicità? *_* A me si vedono normalmente.
"Palliit":
Ciao. La tua funzione si può riscrivere così:
a) [tex]z=\frac{1}{2}\cdot \frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2+y^2+2xy-x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot\left ( \frac{(x+y)^{2}}{x^2+y^2}-1 \right )[/tex]__oppure:
b) [tex]z=\frac{1}{2}\cdot \frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2+y^2+2xy-x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\cdot\left ( 1- \frac{(x-y)^{2}}{x^2+y^2} \right )[/tex]__;
in entrambi i casi la frazione entro parentesi è $>=0$, per cui da (a) deduci che è sempre $z>=-1/2$, da (b) che è sempre $z<=1/2$.
Che trucchetto assurdo
*_*, scusa se te lo chiedo, hai preso spunto da qualche metodo noto, o è un metodo ad hoc? E' possibile applicarlo, generalizzando per tutte le funzioni simmetriche come queste?
Era a questa domanda che avevo cercato di rispondere prima...io ho sempre saputo che non ci fosse un metodo generale...poi, se un matematico ti dice il contrario, io alzo le mani 
"ludwigZero":
scusa se te lo chiedo, hai preso spunto da qualche metodo noto, o è un metodo ad hoc? E' possibile applicarlo, generalizzando per tutte le funzioni simmetriche come queste?
E' un metodo ad hoc e non credo sia generalizzabile a qualsiasi caso di funzione simmetrica, ha ragione Plepp, non c'è un metodo standard.
"Plepp":
Era a questa domanda che avevo cercato di rispondere prima...io ho sempre saputo che non ci fosse un metodo generale...poi, se un matematico ti dice il contrario, io alzo le mani
Sì, sto cercando di entrare nella prospettiva, guardando anche quelli svolti trovati in rete, anche se, ci vedo molti errori
, tipo sempre del secondo link, esercizio lettera $(c)$il dominio non capisco perchè lo scriva in quel modo:
argomento del root square $>=0$
$x^2/(y+1) >=0$
$y$ diverso da $-1$ , $y>(-1)$
$x^2>=0$ per ogni $x$ di $RR$
quindi è $D: {(x,y): $x$ \di $R$, y>(-1)} $
per le linee di livello, il primo passaggio, quello dove si trova $y$ in funzione di $k$ e $x$, mi trovo. Non mi trovo invece co la discussione. se:
$k=1$ => $y= x^2 -1$
$k=-1$ => $y= x^2 -1$
e:
$y=0$ con $(x/k)^2 = - 1$ , non capisco perchè parla di $k<0$ tale che $y=0$
delucidazioni in merito?
Buona sera ludwig, forse è meglio se correggi il tuo ultimo post: non si capisce nulla! Forse hai dimenticato di mettere qualche $.
"ludwigZero":
Ho un problema nel capire la ricerca del codominio funzioni a più variabili:
Esercizi del 'De Michele-Forti':
ad esempio:
$z=2x -5y$
il dominio è: tutto $RR^2$, il risultato mi dice che è tutto $RR^2$ anche per il codominio, ma come?
Avrei una domanda..., ignoranza mia sicuramente, ma non capisco... allora abbiamo una funzione in due variabili $x$ e $y$, dunque per determinare la variabile dipendente $z$, devo assegnare un valore a $x$ e un valore a $y$, cioè una coppia di valori ordinata prima x e poi y, d'accordo? Quindi l'insieme in cui vado a pescare è $RR^2$, ma poi quello che ottengo è un solo valore per $z$, non una coppia, allora l'insieme di arrivo (immagine, codominio... come più vi piace) è solo $RR$ non $RR^2$, o sbaglio?
Ciao gio73, non sbagli, l'errore di stampa a cui faceva riferimento Plepp credo sia questo.
@gio73
credo di aver risistemato le cose
@gio73 (2° post)
infatti ho sbagliato a copiare :$$ è proprio $RR$. Ecco cosa non avevo compreso. L'insieme di partenza (il dominio) si trova nello spazio $RR^2$, mentre lo spazio d'arrivo si trova semplicemente in $RR$ perchè è 'un numero' (scusate la maniera rozza)?
credo di aver risistemato le cose
@gio73 (2° post)
infatti ho sbagliato a copiare :$$ è proprio $RR$. Ecco cosa non avevo compreso. L'insieme di partenza (il dominio) si trova nello spazio $RR^2$, mentre lo spazio d'arrivo si trova semplicemente in $RR$ perchè è 'un numero' (scusate la maniera rozza)?
"ludwigZero":
@gio73 (2° post)
infatti ho sbagliato a copiare :$$ è proprio $RR$. Ecco cosa non avevo compreso. L'insieme di partenza (il dominio) si trova nello spazio $RR^2$, mentre lo spazio d'arrivo si trova semplicemente in $RR$ perchè è 'un numero' (scusate la maniera rozza)?
reale
mi pare che ci siamo.
numero reale, giusto. Mi perdo in queste cose
Dopo tutto questi vostri consigli, vorrei approcciare ad un eserzio, sperando di prenderci.
$f(x,y)= 1/(x^2 +y^2)$
dominio:
$RR^2 -{(0,0)}$
linee di livello:
$x^2 +y^2 = 1/k$ sono delle circonferenze. con centro $(0,0)$ (che non fa parte del dominio)
codominio l'ho guardato così:
$k=0$ => $x^2 +y^2 = oo$ => $z=0$
$k= oo$ => $x^2 +y^2 = 0$ => $z=oo$
quindi
$Im(f)= [0,oo)$
che ne pensate?
Dopo tutto questi vostri consigli, vorrei approcciare ad un eserzio, sperando di prenderci.
$f(x,y)= 1/(x^2 +y^2)$
dominio:
$RR^2 -{(0,0)}$
linee di livello:
$x^2 +y^2 = 1/k$ sono delle circonferenze. con centro $(0,0)$ (che non fa parte del dominio)
codominio l'ho guardato così:
$k=0$ => $x^2 +y^2 = oo$ => $z=0$
$k= oo$ => $x^2 +y^2 = 0$ => $z=oo$
quindi
$Im(f)= [0,oo)$
che ne pensate?
Sistema di nuovo, a dopo!
faccio sempre l'anteprima, prima di mandare xD che macello, mi scuso nuovamente, credo di aver rimesso a posto!
Ciao.
$Im(f)$ non può contenere $0$, $f(x,y)$ è il reciproco di un numero strettamente positivo quindi è $f(x,y)>0$.
Del resto se $k \in RR$ (io direi $k \in RR^+$), non può essere $k= \infty$.
$Im(f)$ non può contenere $0$, $f(x,y)$ è il reciproco di un numero strettamente positivo quindi è $f(x,y)>0$.
Del resto se $k \in RR$ (io direi $k \in RR^+$), non può essere $k= \infty$.
"ludwigZero":
numero reale, giusto. Mi perdo in queste cose
Dopo tutto questi vostri consigli, vorrei approcciare ad un eserzio, sperando di prenderci.
$f(x,y)= 1/(x^2 +y^2)$
dominio:
$RR^2 -{(0,0)}$
linee di livello:
$x^2 +y^2 = 1/k$ sono delle circonferenze. con centro $(0,0)$ (che non fa parte del dominio)
codominio l'ho guardato così:
$k=0$ => $x^2 +y^2 = oo$ => $z=0$
$k= oo$ => $x^2 +y^2 = 0$ => $z=oo$
quindi
$Im(f)= [0,oo)$
che ne pensate?
Mmm...Scrivere $k=\infty$ non mi pare molto ortodosso
devi escludere $0$, come dice Pallit. Vabè, a parte queste formalità, l'esercizio mi pare stia bene; hai dimenticato di "mettere in mezzo" un fatto molto importante però, che ti permette arrivare in maniera "lecita" a quel risultato: la continuità della funzione (ovunque, tranne che nell'origine).
Ciao Ludwig, sono d'accordo con gli altri utenti, molto più preparati di me, vorrei comunque esporti il mio ragionamento che sottopongo all'analisi di Pallit e Plepp.
Allora il dominio: ad x e y posso assegnare tutti i valori che voglio a patto che non siano entrambi contemporaneamente 0, altrimenti mi si annulla il denominatore.
Il codominio: trovandomi la somma di x e di y entrambi al quadrato, non potrò mai avere valori negativi ed escludendo la coppia $(0; 0)$ avrò solo valori positivi per l'immagine.
Ora però è un'abitudine per me immaginarmi la funzione con cui ho a che fare, mi sembra di vedere una superficie larghissima in corrispondenza del piano $xy$ che va via via stringendosi intorno all'asse z, sale sempre più ,in alto, si stringe sempre di più ma non tocca mai l'asse z, siete d'accordo? La concavità mi pare rivolta verso l'alto ma di questo vorrei avere conferma.
Buona notte, io vado a dormire, a domattina.
Allora il dominio: ad x e y posso assegnare tutti i valori che voglio a patto che non siano entrambi contemporaneamente 0, altrimenti mi si annulla il denominatore.
Il codominio: trovandomi la somma di x e di y entrambi al quadrato, non potrò mai avere valori negativi ed escludendo la coppia $(0; 0)$ avrò solo valori positivi per l'immagine.
Ora però è un'abitudine per me immaginarmi la funzione con cui ho a che fare, mi sembra di vedere una superficie larghissima in corrispondenza del piano $xy$ che va via via stringendosi intorno all'asse z, sale sempre più ,in alto, si stringe sempre di più ma non tocca mai l'asse z, siete d'accordo? La concavità mi pare rivolta verso l'alto ma di questo vorrei avere conferma.
Buona notte, io vado a dormire, a domattina.
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