Codominio funzione a due variabili?

[Lanx1]

Come faccio a trovare il codominio di una funzione a due variabili?
Una mia amica mi disse di prendere una y qualunque, tipo y=1, e sostituirla nella funzione, ma che trovo facendo così?

Grazie in anticipo

[Lanx1]

Nessuno lo sa?

[gio73]

proponi un esercizio e vediamo.

[Zero87]

"gio73":proponi un esercizio e vediamo.

Mi aggrego, ma aggiungo che, magari, sulla scia di analoghi esercizi visti per le funzioni ad una variabile, se hai a che fare con una funzione continua, il codominio è l'insieme di tutti i valori assunti dalla funzione tra il minimo globale e il massimo globale.

[Lanx1]

Ragazzi, grazie per le risposte ma ho risolto.
Ho chiesto ad una mia amica di corso che cmi ha spiegato tutto, ora vi dico:

-Per il teorema di Bolzano, se il dominio è convesso, allora il codominio è un intervallo;
-Se il dominio non è convesso, scelgo una restrizione e fisso un valore da dare (a piacere) ad y o ad x;
-Sostituisco il valore scelto ed otterrò quindi una funzione ad una variabile;
-Si deve poi trovare il dominio di questa funzione a una variabile e poi calcolare i limiti della funzione trovata (ad una variabile) con x che tende agli estremi del suo dominio;
-Il codominio avrà come estremi i risultati dei limiti!


Ecco!

[Zero87]

"Lanx":Ragazzi, grazie per le risposte ma ho risolto.

Meglio così, ma non mi riporta il tuo ragionamento. Magari sbaglio io, guarda questo passaggio

-Se il dominio non è convesso, scelgo una restrizione e fisso un valore da dare (a piacere) ad y o ad x;
-Sostituisco il valore scelto ed otterrò quindi una funzione ad una variabile;
-Si deve poi trovare il dominio di questa funzione a una variabile e poi calcolare i limiti della funzione trovata (ad una variabile) con x che tende agli estremi del suo dominio;
-Il codominio avrà come estremi i risultati dei limiti!

Prendiamo $f(x,y)=y sin(\sqrt(x^4-1)/(x^2+1))$.
Il dominio è $\RR^2-(-1,1)\times\RR$, in pratica tutto $\RR^2$ tranne la striscia - per $x \in (-1,1)$ - in cui non è definita la radice.
Il dominio non è convesso.

Allora, secondo il tuo ragionamento, fisso $y=1$: penso che non avrebbe senso fissare $y=0$ semplicemente perché la funzione sarebbe sempre nulla al variare di $x$ (ho scelto apposta il seno che è sempre una quantità limitata... eheheh). Quindi nella tua spiegazione avresti dovuto dire "fisso una restrizione e un valore da dare a piacere non nullo ad y o ad x".
Non ho capito se con restrizione intendi proprio del dominio, in quel caso prendiamo $[1,+\infty[ \times \RR$, in pratica la zona a destra della striscia che ho tolto. Questo, comunque, non influirà in quello che dirò tra poco.

A questo punto, fisso $y=1$ ottenendo
$f(x,1)=sin(\sqrt(x^4-1)/(x^2+1))$.
Di questa non sarà difficile notare che il codominio è sempre contenuto in $[-1,1]$ dal momento che l'immagine del seno, per qualsiasi argomento, è sempre in quell'intervallo. Però, andiamo con ordine e facciamo i due limiti come dici.

In $x=1$, che è il primo estremo, la funzione è definita e non mi serve il limite: vale $sin(0)=0$.
Per $x->+\infty$ la funzione tende a $sin(1)=0,84...$

Dunque dovrei concludere che il codominio è $[0, 0,84...]$?

Direi proprio di no, basta prendere, ad es, il punto $(2, 50)$ in cui la funzione vale $50 \cdot sin(\sqrt(15)/5)=38,72...$ non contemplato nel dominio trovato.

Ah, dimenticavo che quanto dico funziona anche in un quadratone o in un cerchio (opportuni e anche aperti se serve calcolare dei limiti), invece che in $(1,+\infty) \times \RR$.

I casi sono 2:
- ho preso un granchio pazzesco oppure ho scritto una cosa per un'altra in questo post (non è da escludere, conoscendomi )
- nel ragionamento che hai dato manca qualche pezzo oppure non riporta.

Concludo dicendo che non volevo fare polemica o altro, semplicemente non mi riportava il tuo ragionamento e "credo" di aver trovato un controesempio. Se poi ho preso lucciole per lanterne, chiedo venia e cancello tutto quello che ho scritto con la certezza di aver imparato qualcosa di nuovo.