Codominio ed immagine
Ciao, avrei bisogno di un esempio per capire meglio la differenza fra codominio ed immagine di una funzione.
So che il codominio è l'insieme di tutti i valori possibili delle "uscite" di una funzione, mentre l'immagine è l'insieme di tutte le possibili "uscite" di una funzione ma come ingresso devo usare valori contenuti nel dominio.
Mi potreste fare un esempio con una semplice funzione in cui codominio ed immagine non corrispondono?
Grazie.
So che il codominio è l'insieme di tutti i valori possibili delle "uscite" di una funzione, mentre l'immagine è l'insieme di tutte le possibili "uscite" di una funzione ma come ingresso devo usare valori contenuti nel dominio.
Mi potreste fare un esempio con una semplice funzione in cui codominio ed immagine non corrispondono?
Grazie.
Risposte
Ciao!
Prendi la funzione $sin:RR->RR$ il codominio è $RR$ e l’immagine è $[-1,1]$
Prendi la funzione $sin:RR->RR$ il codominio è $RR$ e l’immagine è $[-1,1]$
Ok, grazie.
Ma ancora mi rimane un dubbio.
Come posso immaginare il codominio in termini più "realistici"? mi sfugge proprio questa cosa.
Perchè se con codominio intendiamo tutte le possibili "uscite" (e mettiamo R) in realtà sono consentiti solo valori fra -1 e +1.
Da dove viene fuori R? cosa rappresenta questo R in termini "pratici"?
La vedo, apparentemente, come un'enorme "stranezza".
Ma ancora mi rimane un dubbio.
Come posso immaginare il codominio in termini più "realistici"? mi sfugge proprio questa cosa.
Perchè se con codominio intendiamo tutte le possibili "uscite" (e mettiamo R) in realtà sono consentiti solo valori fra -1 e +1.
Da dove viene fuori R? cosa rappresenta questo R in termini "pratici"?
La vedo, apparentemente, come un'enorme "stranezza".
Non c'è nulla di strano. Cosa è una funzione? partiamoci da quì
I miei due cent …
C'era una volta il codominio …
… nel senso che ultimamente, su diversi libri, molti (purtroppo) considerano il codominio come l'insieme delle immagini mentre "tradizionalmente" il codominio era l'insieme che conteneva tutte le immagini ma non solo; capita la differenza?
Perché il codominio poteva contenere anche valori diversi dalle immagini? Per vari motivi ma in primo luogo perché a priori non è affatto banale determinare esattamente quali siano tutte le immagini.
Cordialmente, Alex
C'era una volta il codominio …
… nel senso che ultimamente, su diversi libri, molti (purtroppo) considerano il codominio come l'insieme delle immagini mentre "tradizionalmente" il codominio era l'insieme che conteneva tutte le immagini ma non solo; capita la differenza?Perché il codominio poteva contenere anche valori diversi dalle immagini? Per vari motivi ma in primo luogo perché a priori non è affatto banale determinare esattamente quali siano tutte le immagini.
Cordialmente, Alex
axpgn, hai centrato la mia domanda:
"perchè il codominio poteva contenere anche valori diversi dalle immagini?"
è proprio questo che mi sfugge e mi affligge
"perchè il codominio poteva contenere anche valori diversi dalle immagini?"
è proprio questo che mi sfugge e mi affligge
Una funzione è definita a partire da due insiemi, l’immagine è definita una volta data una funzione.
Se per ogni funzione si avesse $imf= c o d o m i n i o$ allora non avrebbe nemmeno senso parlare di suriettività
In termini pratici il codominio contiene tutti i valori che potrebbero essere output; l’immagine contiene tutti e soli i valori del codominio che sono anche output
Immagina di avere un rubinetto, una vasca e una funzione che porta l’acqua dal rubinetto alla vasca.
Il codominio(ossia l’insieme dove l’acqua del rubinetto può finire) e l’immagine è la porzione di vasca effettivamente riempita: pure se la vasca non l’hai riempita totalmente, continua ad essere lì
Più pratico di così, non mi veniva.
Se per ogni funzione si avesse $imf= c o d o m i n i o$ allora non avrebbe nemmeno senso parlare di suriettività
In termini pratici il codominio contiene tutti i valori che potrebbero essere output; l’immagine contiene tutti e soli i valori del codominio che sono anche output
Immagina di avere un rubinetto, una vasca e una funzione che porta l’acqua dal rubinetto alla vasca.
Il codominio(ossia l’insieme dove l’acqua del rubinetto può finire) e l’immagine è la porzione di vasca effettivamente riempita: pure se la vasca non l’hai riempita totalmente, continua ad essere lì
Più pratico di così, non mi veniva.
Ok, con l'esempio pratico mi è più chiaro.
Grazie ad entrambi
Grazie ad entrambi
Un esempio che avevo letto tanti anni fa era questo:
Prendiamo la funzione che assegna ad ogni uomo sulla Terra il suo colore degli occhi con dominio tutta l'Umanità e codominio l'insieme di tutti i colori possibili.
Nel codominio c'è anche il color "cremisi"; che io sappia nessuno ha gli occhi di color cremisi ma potresti escluderlo sicuramente? Ecco che fissando come codominio l'insieme di tutti i colori, sei a posto
Prendiamo la funzione che assegna ad ogni uomo sulla Terra il suo colore degli occhi con dominio tutta l'Umanità e codominio l'insieme di tutti i colori possibili.
Nel codominio c'è anche il color "cremisi"; che io sappia nessuno ha gli occhi di color cremisi ma potresti escluderlo sicuramente? Ecco che fissando come codominio l'insieme di tutti i colori, sei a posto
Nel tuo caso, fisseremo quindi come immagine quei colori che sicuramente sappiamo esistere per l'umanità giusto?
Non proprio perché così facendo faresti delle assunzioni a priori che potrebbero non corrispondere alla realtà (potresti mettere un colore che nessuno ha o non mettere uno che invece c'è), in pratica faresti, di nuovo, coincidere il codominio con l'immagine.
Invece nel caso che ho portato ad esempio l'immagine andrebbe costruita punto per punto ovvero verificando il colore degli occhi persona per persona.
Fatto questo avresti sia l'immagine (perché hai trovato TUTTE le immagini) ed il codominio (cioè l'insieme di TUTTI i colori che contiene sicuramente TUTTE le immagini più altro).
A questo punto potresti essere tentato di prendere l'immagine come codominio, perché potresti dire "li ho censiti tutti quindi non ce ne sono altri" ma, IMHO, sarebbe un errore perché chi ti può garantire che in futuro non nasca una persona con un colore diverso da tutti quelli che hai trovato?
Ecco perché è sempre più comodo tenersi un codominio "bello largo" … ... va sempre bene ...
Cordialmente, Alex
Invece nel caso che ho portato ad esempio l'immagine andrebbe costruita punto per punto ovvero verificando il colore degli occhi persona per persona.
Fatto questo avresti sia l'immagine (perché hai trovato TUTTE le immagini) ed il codominio (cioè l'insieme di TUTTI i colori che contiene sicuramente TUTTE le immagini più altro).
A questo punto potresti essere tentato di prendere l'immagine come codominio, perché potresti dire "li ho censiti tutti quindi non ce ne sono altri" ma, IMHO, sarebbe un errore perché chi ti può garantire che in futuro non nasca una persona con un colore diverso da tutti quelli che hai trovato?
Ecco perché è sempre più comodo tenersi un codominio "bello largo" …
... va sempre bene ...Cordialmente, Alex
Ok, quindi diciamo che possiamo stabilire l'immagine solo una volta noti TUTTI i colori REALMENTE esistenti.
Quindi si può stabilire solo dopo aver visto TUTTE le persone ed identificato il loro colore degli occhi.
Grazie mille!!
Buona serata
Quindi si può stabilire solo dopo aver visto TUTTE le persone ed identificato il loro colore degli occhi.
Grazie mille!!
Buona serata
Perdonatemi se sono tornato sempre su questo discorso ma stamani mi è arrivato un nuovo libro di analisi (Analisi 1 di giuseppe zwriner) e mi sono confuso nuovamente... sul nuovo libro si dice:
Presa una $ f:A->B $
l'insieme $ f(A)="codominio" $ mentre $ f(T)="immagine" $ con T sottoinsieme di A ed $ f(T) $ contenuto in B.
Quindi io ho immaginato:
Quindi dato che quando parliamo dell'immagine ci riferiamo graficamente hai valori "sull'asse y", quello sull'asse X in realtà non è il dominio ma un sottoinsieme del dominio? sarebbe il famoso campo di esistenza?
Non sono sicuro di aver espresso correttamente il mio dubbio
Presa una $ f:A->B $
l'insieme $ f(A)="codominio" $ mentre $ f(T)="immagine" $ con T sottoinsieme di A ed $ f(T) $ contenuto in B.
Quindi io ho immaginato:
Quindi dato che quando parliamo dell'immagine ci riferiamo graficamente hai valori "sull'asse y", quello sull'asse X in realtà non è il dominio ma un sottoinsieme del dominio? sarebbe il famoso campo di esistenza?
Non sono sicuro di aver espresso correttamente il mio dubbio
Correggetemi se sbaglio:
Presa ad esempio la funzione $ y=sqrt(x-1) $
La funzione ha come dominio R, come codominio R
ma ha come campo di esistenza $ x>=1 $ e come immagine $ y>=0 $
Presa ad esempio la funzione $ y=sqrt(x-1) $
La funzione ha come dominio R, come codominio R
ma ha come campo di esistenza $ x>=1 $ e come immagine $ y>=0 $
Prima di tutto hai sbagliato a postare due volte lo stesso messaggio …
Poi, a rigore, il dominio di una funzione deve essere dato a priori, non trovato a posteriori (e lo stesso deve (doveva?) valere per il codominio)
Per "campo di esistenza" (adesso denominato anche "dominio naturale" che mi pare più azzeccato) si intende il più "ampio" dominio per cui la funzione abbia senso.
Quindi tornando al tuo esempio, a voler essere pignoli quella funzione "non è definita" in quanto non vengono forniti né il dominio né il codominio; quando si definisce una funzione si dovrebbe scrivere così: è data la funzione $f\ :\ \ D\ ->\ C$ dove $f$ è il nome della funzione (che può assumere i valori che vuoi pure "pippo" o "paperino" se ti piace), $D$ è il dominio, che però da qualche parte devi definire come è composto e $C$ il codominio (idem come prima).
Perciò per questa funzione $y=f(x)=sqrt(x-1)$ non abbiamo né dominio né codominio però, volendo, possiamo determinare il C.E. cioè cercare l'insieme più ampio possibile che "funzioni" da dominio; in questo caso è $x>=1 ^^ x in RR$ (per quel che ne sappiamo potrebbero esser anche numeri razionali o interi o …). Per il codominio è più facile: basta prendere $RR$ e sei a posto.
Cordialmente, Alex
Poi, a rigore, il dominio di una funzione deve essere dato a priori, non trovato a posteriori (e lo stesso deve (doveva?) valere per il codominio)
Per "campo di esistenza" (adesso denominato anche "dominio naturale" che mi pare più azzeccato) si intende il più "ampio" dominio per cui la funzione abbia senso.
Quindi tornando al tuo esempio, a voler essere pignoli quella funzione "non è definita" in quanto non vengono forniti né il dominio né il codominio; quando si definisce una funzione si dovrebbe scrivere così: è data la funzione $f\ :\ \ D\ ->\ C$ dove $f$ è il nome della funzione (che può assumere i valori che vuoi pure "pippo" o "paperino" se ti piace), $D$ è il dominio, che però da qualche parte devi definire come è composto e $C$ il codominio (idem come prima).
Perciò per questa funzione $y=f(x)=sqrt(x-1)$ non abbiamo né dominio né codominio però, volendo, possiamo determinare il C.E. cioè cercare l'insieme più ampio possibile che "funzioni" da dominio; in questo caso è $x>=1 ^^ x in RR$ (per quel che ne sappiamo potrebbero esser anche numeri razionali o interi o …). Per il codominio è più facile: basta prendere $RR$ e sei a posto.
Cordialmente, Alex
Grazie della risposta,
Non ho postato due volte il messaggio, deve esserci stato un errore (come vedi sono pubblicati nel solito istante).
Venendo alla risposta e sperando di aver appreso qualcosa, ti riassumo ciò che ho recepito per verificare se ho capito:
Prima di tutto si definisce dominio e codominio:
$ f:R->R $ con $ f(x)=sqrt(x-1) $ che ha come dominio naturale (o campo di esistenza) $ x>=1 $ e come immagine $ y>=0 $.
Ora ci siamo ?
Non ho postato due volte il messaggio, deve esserci stato un errore (come vedi sono pubblicati nel solito istante).
Venendo alla risposta e sperando di aver appreso qualcosa, ti riassumo ciò che ho recepito per verificare se ho capito:
Prima di tutto si definisce dominio e codominio:
$ f:R->R $ con $ f(x)=sqrt(x-1) $ che ha come dominio naturale (o campo di esistenza) $ x>=1 $ e come immagine $ y>=0 $.
Ora ci siamo
?
"matteo_g":
Prima di tutto si definisce dominio e codominio:
No, dominio e codominio non devono essere definiti ma devono essere dati.
Questo dovrebbe essere.
In pratica se non vengono dati espressamente, allora o vengono presupposti (di solito $RR\ ->\ RR$) o dedotti dal contesto (tipo $NN\ ->\ RR$ per le successioni) o in mancanza d'altro si assume come dominio il C.E..
Se si parla di numeri, fissare il codominio è semplice, basta prendere $RR$ o $CC$ mentre trovare l'immagine non è sempre banale, anzi ...
Io ribadisco quanto detto nel mio secondo messaggio: cosa è una funzione?
la definizione di funzione è:
Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama funzione di A in B una legge che associa ad ogni elemento x di A uno ed un solo elemento y di B
Per indicare ciò si adopera la seguente scrittura:
$ f:A->B $
Quindi, A e B devono essere dati, quindi devono essere dati dominio e codominio. Una volta che mi sono dati A e B siamo noi a dover trovare e definire una funzione che abbia un certo scopo e che parta da A e finisca in B.
Chiamiamo:
A=dominio
B=codominio=f(A)
f(T)=immagine , con T sottoinsieme di A e f(T) sottoinsieme di B
il T appena trovato dovrebbe essere il campo di esistenza.
Ci siamo?
Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama funzione di A in B una legge che associa ad ogni elemento x di A uno ed un solo elemento y di B
Per indicare ciò si adopera la seguente scrittura:
$ f:A->B $
Quindi, A e B devono essere dati, quindi devono essere dati dominio e codominio. Una volta che mi sono dati A e B siamo noi a dover trovare e definire una funzione che abbia un certo scopo e che parta da A e finisca in B.
Chiamiamo:
A=dominio
B=codominio=f(A)
f(T)=immagine , con T sottoinsieme di A e f(T) sottoinsieme di B
il T appena trovato dovrebbe essere il campo di esistenza.
Ci siamo?
Questa solitamente è una definizione abbastanza liceale e che comincia a venire stretta continuando gli studi. Infatti ‘è una legge’ può anche non significare nulla
Dati due insiemi $A,B$ una funzione $f$ è
- $f subsetAtimesB$
- $forall a inA exists! b in B | (a,b) in f$
La prima dice che è un sottoinsieme del prodotto cartesiano
La seconda è la classica univocità dell’assegnazione
Per la scrittura $(a,b) in f$ si usa anche $b=f(a)$
L’insieme $A$ è detto dominio e l’insieme $B$ viene detto codominio. La funzione viene denotata anche con l’espressione $f:A->B$
A questo punto l’immagine è definita come $f(A):= { b in B | exists a in A, (a,b) inf }$
Dalla definizione si ha che $f(A)subsetB$ ma in generale non è vera l’uguaglianza e come esempio basta sempre $sin:RR->RR$ che avrà immagine $f(RR)=[0,1]$. Tale insieme è dato dagli elementi che sono in funzione di almeno un elemento di $A$ e infatti non tutti gli elementi del codominio sono in funzione di almeno un elemento del dominio; quando questo accade la funzione sarà detta suriettiva: ossia quando $f(A)=B$.
Le ultime due righe, scritte così, non hanno alcun senso.
Dati due insiemi $A,B$ una funzione $f$ è
- $f subsetAtimesB$
- $forall a inA exists! b in B | (a,b) in f$
La prima dice che è un sottoinsieme del prodotto cartesiano
La seconda è la classica univocità dell’assegnazione
Per la scrittura $(a,b) in f$ si usa anche $b=f(a)$
L’insieme $A$ è detto dominio e l’insieme $B$ viene detto codominio. La funzione viene denotata anche con l’espressione $f:A->B$
A questo punto l’immagine è definita come $f(A):= { b in B | exists a in A, (a,b) inf }$
Dalla definizione si ha che $f(A)subsetB$ ma in generale non è vera l’uguaglianza e come esempio basta sempre $sin:RR->RR$ che avrà immagine $f(RR)=[0,1]$. Tale insieme è dato dagli elementi che sono in funzione di almeno un elemento di $A$ e infatti non tutti gli elementi del codominio sono in funzione di almeno un elemento del dominio; quando questo accade la funzione sarà detta suriettiva: ossia quando $f(A)=B$.
Le ultime due righe, scritte così, non hanno alcun senso.
Vorrei sottolineare che, come sempre in matematica, sono convenzioni. C'è chi dice "codominio = questo" e chi dice "codominio= quello", bisogna mettersi d'accordo volta per volta o regolarsi con il contesto.
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