Codominio ed immagine

[matteo_g1]

Ciao, avrei bisogno di un esempio per capire meglio la differenza fra codominio ed immagine di una funzione.
So che il codominio è l'insieme di tutti i valori possibili delle "uscite" di una funzione, mentre l'immagine è l'insieme di tutte le possibili "uscite" di una funzione ma come ingresso devo usare valori contenuti nel dominio.

Mi potreste fare un esempio con una semplice funzione in cui codominio ed immagine non corrispondono?
Grazie.

[gugo82]

"matteo_g":la definizione di funzione è:

Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama funzione di A in B una legge che associa ad ogni elemento x di A uno ed un solo elemento y di B

Questa non è una buona definizione, o, quantomeno, non è la definizione comunemente accettata.
Che significa “legge che associa”?
Cos’è una “legge”?

"matteo_g":Per indicare ciò si adopera la seguente scrittura:

$ f:A->B $

Quindi, A e B devono essere dati, quindi devono essere dati dominio e codominio. Una volta che mi sono dati A e B siamo noi a dover trovare e definire una funzione che abbia un certo scopo e che parta da A e finisca in B.

Che vuol dire l’ultima frase?

"matteo_g":Chiamiamo:

A=dominio

B=codominio=f(A)

f(T)=immagine , con T sottoinsieme di A e f(T) sottoinsieme di B
il T appena trovato dovrebbe essere il campo di esistenza.

Ci siamo?

No.

Questa è una cosa abbastanza sottile, e c’è di mezzo la distinzione tra funzione ed espressione elementare della legge di assegnazione di una funzione.

Algebricamente parlando, una funzione $f$ di dominio $A$ e codominio $B$ (entrambi insiemi non vuoti per comodità) è un qualsiasi sottoinsieme (non vuoto) del prodotto cartesiano $A xx B$ che gode della proprietà seguente:
\[
\tag{F}
\forall x \in A,\ \exists!\ y \in B :\ (x,y) \in f\; ;
\]
in tal caso, l’unico elemento $y in B$ che “corrisponde” ad $x in A$ si chiama immagine dell'elemento $x$ e si denota col simbolo $f(x)$.
Quindi, nonostante sia un insieme, una funzione $f$ può interpretarsi come qualcosa che "fa corrispondere" ad ogni elemento $x$ del suo dominio $A$ un unico elemento $y=f(x)$ del suo codominio $B$; in particolare, la corrispondenza $x\mapsto y$ si chiama legge di assegnazione di $f$ e usualmente si denota col simbolo $y=f(x)$.
In generale, la legge di assegnazione di una funzione deve essere nota “a priori” insieme a dominio e codominio, ma può anche essere ricavata “a posteriori” (se un’ispezione esplicita lo consente) dalle coppie ordinate $(x,y)$ che costituiscono la funzione $f$.
Un errore molto comune è credere che la legge di assegnazione sia univocamente determinata dalla funzione o, viceversa, che la funzione sia univocamente determinata dalla sua legge di assegnazione.
Ciò non è affatto vero, nemmeno se ci restringiamo a considerare funzioni molto semplici. Ad esempio:

[*:3h9fc73w] la funzione $f: \{0,1\} -> \{0,1\}$ che assegna $0 \mapsto 0$ ed $1\mapsto 1$ (ossia l’identità) si può individuare sia attraverso la legge (ovvia) $y=x$ sia mediante $y=x^5$, sia con $y = (1 - (-1)^x)/2$ (meno ovvia), sia via $y= sin(pi/2 x)$... E si potrebbe continuare ad libitum;
[/*:m:3h9fc73w]
[*:3h9fc73w] la legge di assegnazione $y=x^2$ determina una funzione $f:RR -> RR$, ma anche le funzioni $f_1: NN -> NN$, $f_2: ZZ -> NN$, $f_3: NN -> ZZ$, $f_4: NN -> QQ$, $f_5: QQ -> QQ$, etc... E si potrebbe continuare ad libitum.[/*:m:3h9fc73w][/list:u:3h9fc73w]

Supponiamo, ora, di avere a che fare con funzioni che operano tra numeri reali (dette funzioni numeriche) la cui legge di assegnazione $y=f(x)$, come di solito avviene in Analisi, sia fornita attraverso un’espressione elementare, cioè mediante composizione di funzioni elementari note definite in (sottoinsiemi di) $RR$. Ad esempio, $y=sqrt(x-1)$ oppure $y=( log(x^2 - 1) - log(2x-3))^(cos(sqrt(x)))$.
Per lo stesso motivo detto poco più sopra, non è possibile dire che una legge di assegnazione elementare determina univocamente una funzione numerica definita in qualche sottoinsieme non vuoto di $RR$.
Tuttavia, con le usuali tecniche (cioè risolvendo un sistema di disequazioni), è possibile stabilire se esistono $x in RR$ che rendono sensato il calcolo del valore numerico dell’espressione elementare assegnata e, in caso affermativo, è anche possibile (più o meno esplicitamente) individuare il “più grande” sottoinsieme $D subseteq RR$ che contiene i valori $x$ per i quali il calcolo è sensato.
L’insieme $D$ (che si determina “imponendo le condizioni di esistenza”, come si dice di solito) si chiama insieme di definizione (massimale) (o anche campo di esistenza) dell’espressione elementare assegnata ed usando $D$ come dominio, $RR$ come codominio e $y=text(espressione assegnata)$ come legge di assegnazione è possibile costruire una funzione $f:D->RR$ tale che $f(x)=text(espressione assegnata)$.

La funzione $f$ così costruita gode di una proprietà interessante: se $f_1$ è una funzione con dominio $A$ tale che $f_1(x) = text(espressione assegnata)$ (cioè se $f_1$ è un’altra funzionenumerica ad avere la stessa legge di assegnazione di $f$) allora $A subseteq D$ (cioè $f_1$ è una “restrizione” di $f$ ad un dominio contenuto in $D$). Questa è una proprietà di massimalità, poiché, in soldoni, ti dice che la funzione definita sull’insieme di definizione $D$ della tua espressione elementare assegnata è già definita nel “più grande” sottoinsieme di $RR$ possibile, cioè che il suo dominio non si può allargare oltre $D$ a meno di non voler includere valori di $x$ che rendono insensato il calcolo dell’espressione.

Altra cosa è la distinzione tra il codominio e l’insieme delle immagini di una funzione.

Se $f:A->B$ è una funzione, in generale, possono esistere elementi di $B$ che non sono immagine di alcun elemento di $A$. Ad esempio, se $f:NN -> ZZ$ che associa $y=x$, nessun numero negativo appartenente a $ZZ$ è immagine di qualche $x in NN$.
Perciò, in generale, l’insieme delle immagini di tutti gli elementi $x in A$ mediante $f$, usualmente denotato con $text(Im)(f)$ e chiamato immagine di $f$, è un sottoinsieme non vuoto del codominio $B$.
Se $text(Im)(f)=B$ si dice che $f$ è suriettiva o che è una suriezione di $A$ in $B$.

Se $T subseteq A$, l’insieme delle immagini degli elementi $x in T$ mediante $f$ si denota col simbolo $f(T)$ e si chiama immagine dell’insieme $T$ mediante $f$. Dato che $Asubseteq A$, si può scrivere $f(A)$ e tale insieme coincide con $text(Im)(f)$ cioè risulta $f(A) = text(Im)(f)$.