Codominio della funzione usando il teorema di bolzano

[89mary-votailprof]

ho questa funzione
$sqrt(x+1)*log|x|$
mi si chiede di calcolare il dominio, gli asintoti e usando il teorema di bolzano di dimostrare che il codominio è...
allora per il dominio mi trovo [-1;0[ U]0;$+infty$[
gli asintoti: per x che tende a più infinito la funzione tende a + infinito, per cui non è asintoto orizzontale.
per x che tende a 0(sia a 0+ che 0-)mi trovo che la funzione tende a -infinito e per x che tende a -1+ la funzione tende a 0, per cui x=0 è asintoto verticale.
io il codominio mi trovo tutto R ad eccezione dello 0. ma come si usa il teorema di bolzano?
io so che il teorema dice che se il dominio è un intervallo lo è pure il codominio.
ma a cosa mi serve?

grazie mille in anticipo

[adaBTTLS1]

in (0,+oo) la funzione è continua e assume tutti i valori da -oo (limite per x->0+) a +oo (limite per x->+oo).
t. di Bolzano è anche detto teorema dei valori intermedi (spesso si parla di Bolzano-Weierstrass, Darboux).
puoi cercare diverse formulazioni.
penso sia sufficiente per dire che il codominio è tutto R, ma potresti anche ragionare per assurdo, supponendo che ci sia un valore reale (k) non compreso nel codominio. comunque i due limiti precedenti ti garantiscono che nell'intorno destro dello zero la funzione assume un valore Lk. dalla continuità della funzione segue (t. valori intermedi) che la funzione assume almeno una volta tutti i valori compresi tra L e M, e quindi anche k, contrariamente all'ipotesi dell'assurdo.
spero sia chiaro. comunque penso non sia necessario scrivere tutto questo.
ciao.

[89mary-votailprof]

penso di aver compreso grazie
comunque avevo scritto che il codominio era R-(0)...ma è tutto R perchè in 1 la funzione vale appunto 0. mi ero confusa

[adaBTTLS1]

prego.
eh sì, log(1)=0.