$C^n subset H^{n+1}$?
tempo fa ho aperto un thread a proposito della dimostrazione di questa inclusione, dimostrazione su cui però non mi sono fermato più di tanto.
il dubbio che mi sta venendo ora è il seguente: se prendo una qualsiasi funzione discontinua ma integrabile con la sua derivata (ad esempio $f(x)=1$ per $x in [0,2] backslash {1}, f(1)=0$), non sta questa in $H^1$?
il dubbio che mi sta venendo ora è il seguente: se prendo una qualsiasi funzione discontinua ma integrabile con la sua derivata (ad esempio $f(x)=1$ per $x in [0,2] backslash {1}, f(1)=0$), non sta questa in $H^1$?
Risposte
"Nebula":
tempo fa ho aperto un thread a proposito della dimostrazione di questa inclusione, dimostrazione su cui però non mi sono fermato più di tanto.
il dubbio che mi sta venendo ora è il seguente: se prendo una qualsiasi funzione discontinua ma integrabile con la sua derivata (ad esempio $f(x)=1$ per $x in [0,2] backslash {1}, f(1)=0$), non sta questa in $H^1$?
Ehhm no (e questo e' un punto fondamentale da capire). La funzione che scrivi non ha derivata debole in $L^1$ - la derivata quasi ovunque e la derivata debole non sono la stessa cosa, in generale.
E per definire $H^1$ si chiede (questa e' una possibile definizione) che la derivata debole sia $L^1$
in generale va bene, ma in questo caso $f$ non ha derivata debole q.o. nulla?
in altre parole, non vale $int_0^2 f' phi = - int_0^2 phi' = 0$ per ogni $phi$ dal supporto $subset subset (0,2)$?
in altre parole, non vale $int_0^2 f' phi = - int_0^2 phi' = 0$ per ogni $phi$ dal supporto $subset subset (0,2)$?
SCUSA - ho letto frettolosamente il tuo messaggio e mi era sembrato che la tua $f$ fosse $0$ tra zero e uno e fosse 1 tra uno e due.
In effetti quando ho visto la parola "discontinua" ho automaticamente ritenuto che tu facessi un errore standard e ho letto cio' che volevo leggere
invece di cio' che avevi scrito
Il tuo problema e' un altro (e ben fondato) - dato che le funzioni sono tutte definite quasi ovunque che senso ha dire che sono continue o addirittura derivabili ?
Beh, a rigore bisognerebbe dire che ammettono un rappresentante continuo - nel tuo caso la funzione che stai considerando E' LA FUNZIONE NULLA.
Questo torna se vedi anche le funzioni "in senso debole", cioe' definite solo come funzionali su $C_0^{\infty}$. Nel tuo caso
$\int_{RR}f(x)\phi(x)dx =0$ per ogni $\phi$ e quindi $f$ e' nulla.
Spero di aver risposto stavolta
In effetti quando ho visto la parola "discontinua" ho automaticamente ritenuto che tu facessi un errore standard e ho letto cio' che volevo leggere
invece di cio' che avevi scrito
Il tuo problema e' un altro (e ben fondato) - dato che le funzioni sono tutte definite quasi ovunque che senso ha dire che sono continue o addirittura derivabili ?
Beh, a rigore bisognerebbe dire che ammettono un rappresentante continuo - nel tuo caso la funzione che stai considerando E' LA FUNZIONE NULLA.
Questo torna se vedi anche le funzioni "in senso debole", cioe' definite solo come funzionali su $C_0^{\infty}$. Nel tuo caso
$\int_{RR}f(x)\phi(x)dx =0$ per ogni $\phi$ e quindi $f$ e' nulla.
Spero di aver risposto stavolta
direi di sì.
per allargare il discorso ti dico da dove ero partito:
dato il seguente problema classico
trovare $u in C^2(a,b)$ tale che
$-u''(x) + \sigma u(x) = f(x), \quad f \in L^2(a,b)
$ u(a) = u'(b) + \gamma u(b) = 0.
la relativa formulazione debole è:
trovare $u in H^1_a= \{u in H^1$ ottenute come limiti di funzioni in $C^1$ nulle in $a \}$ tale che
$ \int_a^b u'(x)v'(x) dx + \sigma \int_a^b u(x) v(x) dx + \gamma u(b)v(b) =\int_a^b f(x) v(x) dx,
$ \forall v \in H^1_a(a,b).
che significato si dà a $u(b)$ e $v(b)$? i valori dei rappresentanti continui di $u$ e $v$ in $b$?
per allargare il discorso ti dico da dove ero partito:
dato il seguente problema classico
trovare $u in C^2(a,b)$ tale che
$-u''(x) + \sigma u(x) = f(x), \quad f \in L^2(a,b)
$ u(a) = u'(b) + \gamma u(b) = 0.
la relativa formulazione debole è:
trovare $u in H^1_a= \{u in H^1$ ottenute come limiti di funzioni in $C^1$ nulle in $a \}$ tale che
$ \int_a^b u'(x)v'(x) dx + \sigma \int_a^b u(x) v(x) dx + \gamma u(b)v(b) =\int_a^b f(x) v(x) dx,
$ \forall v \in H^1_a(a,b).
che significato si dà a $u(b)$ e $v(b)$? i valori dei rappresentanti continui di $u$ e $v$ in $b$?
"Nebula":
direi di sì.
per allargare il discorso ti dico da dove ero partito:
dato il seguente problema classico
trovare $u in C^2(a,b)$ tale che
$-u''(x) + \sigma u(x) = f(x), \quad f \in L^2(a,b)
$ u(a) = u'(b) + \gamma u(b) = 0.
la relativa formulazione debole è:
trovare $u in H^1_a= \{u in H^1$ ottenute come limiti di funzioni in $C^1$ nulle in $a \}$ tale che
$ \int_a^b u'(x)v'(x) dx + \sigma \int_a^b u(x) v(x) dx + \gamma u(b)v(b) =\int_a^b f(x) v(x) dx,
$ \forall v \in H^1_a(a,b).
che significato si dà a $u(b)$ e $v(b)$? i valori dei rappresentanti continui di $u$ e $v$ in $b$?
Esatto - se sei in una variabile in effetti le funzioni $H_0^1$ (ottenute come limiti in $H^1$ di funzioni $C^1$ e nulle al bordo) sono ancora continue e nulle al bordo (un loro rappresentante lo e')
e quindi ha senso parlare di "problema con dato nullo al bordo" - in senso realmente puntuale.
In piu' variabili (se lo studierai) questa proprieta' si perde: non necessariamente le funzioni $H_0^1$ sono continue e quindi non hanno "valori"" ben definiti - cio' nonostante ha senso impostare il
problema (dicendo appunto che la soluzione e' limite di funzioni nulle al bordo e che verifica, in senso debole, un'equazione) e porsi a posteriori il problema di che "regolarita' abbia la soluzione.
Spesso capita che - a causa dell'equazione risolta - la continuita' (e quindi la condizione al bordo in senso tradizionale) alla fine si dimostrino lo stesso.
EDIT ho nuovamente letto male il tuo messaggio - e non sono sicuro che anche tu considerassi il problema con condizione zero al bordo. Stavolta comunque la sostanza non cambia molto.
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